Published December 1, 2020 | Version v1
Publication Open

The dynamics of the relativistic Kepler problem

Creators

  • 1. National Research Institute of Astronomy and Geophysics
  • 2. Universidad Politécnica de Cartagena
  • 3. Universitat Autònoma de Barcelona

Description

We deal with the Hamiltonian system (HS) associated to the Hamiltonian in polar coordinates H=12pr2+pϕ2r2-1r-∊2r2, where ∊ is a small parameter. This Hamiltonain comes from the correction given by the special relativity to the motion of the two-body problem, or by the first order correction to the two-body problem coming from the general relativity. This Hamiltonian system is completely integrable with the angular momentum C and the Hamiltonian H. We have two objectives. First we describe the global dynamics of the Hamiltonian system (HS) in the following sense. Let Sh and Sc are the subset of the phase space where H=h and C=c, respectively. Since C and H are first integrals, the sets Sc,Sh and Shc=Sh∩Sc are invariant by the action of the flow of the Hamiltonian system (HS). We determine the global dynamics on those sets when the values of h and c vary. Second recently Tudoran (2017) provided a criterion which detects when a non-degenerate equilibrium point of a completely integrable system is Lyapunov stable. Every equilibrium point q of the completely integrable Hamiltonian system (HS) is degenerate and has zero angular momentum, so the mentioned criterion cannot be applied to it. But we will show that this criterion is also satisfied when it is applied to the Hamiltonian system (HS) restricted to zero angular momentum.

⚠️ This is an automatic machine translation with an accuracy of 90-95%

Translated Description (Arabic)

نحن نتعامل مع نظام هاميلتون (HS) المرتبط بنظام هاميلتون في الإحداثيات القطبية H= 12pr2 + p ؟ 2r2 -1r -? 2r2، حيث أن μ هي معلمة صغيرة. يأتي هاميلتونين هذا من التصحيح الذي تعطيه النسبية الخاصة لحركة مشكلة الجسمين، أو عن طريق التصحيح من الدرجة الأولى لمشكلة الجسمين القادمة من النسبية العامة. هذا النظام الهاملتوني متكامل تمامًا مع الزخم الزاوي C وهاملتوني H. لدينا هدفان. أولاً، نصف الديناميكيات العالمية لنظام هاميلتون بالمعنى التالي. لنفترض أن Sh و Sc هما المجموعة الفرعية لمساحة الطور حيث H=h و C=c، على التوالي. نظرًا لأن C و H هما التكاملان الأوليان، فإن المجموعات Sc و Sh و Shc=Sh 'Sc ثابتة من خلال عمل تدفق النظام الهاملتوني (HS). نحدد الديناميكيات العالمية على تلك المجموعات عندما تختلف قيمتا h و c. قدم تودوران الثاني مؤخرًا (2017) معيارًا يكتشف متى تكون نقطة التوازن غير المتحللة لنظام متكامل تمامًا مستقرة في ليابونوف. كل نقطة توازن q في نظام هاميلتون المتكامل تمامًا (HS) متدهورة ولها زخم زاوي صفري، لذلك لا يمكن تطبيق المعيار المذكور عليها. لكننا سنوضح أن هذا المعيار يتم استيفاؤه أيضًا عند تطبيقه على نظام هاميلتون (HS) المقيد بزخم زاوي صفري.

Translated Description (French)

Nous traitons du système hamiltonien (HS) associé à l'hamiltonien en coordonnées polaires H=12pr2+pϕ2r2-1r-≃2r2, où ≃ est un petit paramètre. Ce hamiltonien provient de la correction donnée par la relativité restreinte au mouvement du problème à deux corps, ou par la correction du premier ordre au problème à deux corps provenant de la relativité générale. Ce système hamiltonien est complètement intégrable avec le moment cinétique C et l'hamiltonien H. Nous avons deux objectifs. Nous décrivons d'abord la dynamique globale du système hamiltonien (SH) dans le sens suivant. Soient Sh et Sc le sous-ensemble de l'espace de phase où H=h et C=c, respectivement. Puisque C et H sont des premières intégrales, les ensembles Sc,Sh et Shc=Sh Sc sont invariants par l'action du flux du système hamiltonien (HS). Nous déterminons la dynamique globale sur ces ensembles lorsque les valeurs de h et c varient. Deuxièmement, récemment, Tudoran (2017) a fourni un critère qui détecte quand un point d'équilibre non dégénéré d'un système complètement intégrable est stable à Lyapunov. Chaque point d'équilibre q du système hamiltonien complètement intégrable (HS) est dégénéré et a un moment cinétique nul, de sorte que le critère mentionné ne peut pas lui être appliqué. Mais nous montrerons que ce critère est également satisfait lorsqu'il est appliqué au système hamiltonien (SH) limité à un moment cinétique nul.

Translated Description (Spanish)

Tratamos con el sistema hamiltoniano (SA) asociado al hamiltoniano en coordenadas polares H=12pr2+pϕ2r2-1r- 2r2, donde 2r2 es un parámetro pequeño. Este Hamiltonain proviene de la corrección dada por la relatividad especial al movimiento del problema de los dos cuerpos, o por la corrección de primer orden al problema de los dos cuerpos procedente de la relatividad general. Este sistema hamiltoniano es completamente integrable con el momento angular C y el hamiltoniano H. Tenemos dos objetivos. Primero describimos la dinámica global del sistema hamiltoniano (SA) en el siguiente sentido. Sea Sh y Sc el subconjunto del espacio de fase donde H=h y C=c, respectivamente. Dado que C y H son las primeras integrales, los conjuntos Sc,Sh y Shc=Sh · Sc son invariantes por la acción del flujo del sistema hamiltoniano (HS). Determinamos la dinámica global en esos conjuntos cuando los valores de h y c varían. En segundo lugar, recientemente Tudoran (2017) proporcionó un criterio que detecta cuándo un punto de equilibrio no degenerado de un sistema completamente integrable es estable en Lyapunov. Todo punto de equilibrio q del sistema hamiltoniano (HS) completamente integrable está degenerado y tiene momento angular cero, por lo que no se le puede aplicar el criterio mencionado. Pero demostraremos que este criterio también se satisface cuando se aplica al sistema hamiltoniano (HS) restringido a momento angular cero.

Files

AboGuiLli2018.pdf.pdf

Files (813.8 kB)

⚠️ Please wait a few minutes before your translated files are ready ⚠️ Note: Some files might be protected thus translations might not work.
Name Size Download all
md5:cafed5fb4e36d53ff316b3d95b6dd2db
813.8 kB
Preview Download

Additional details

Additional titles

Translated title (Arabic)
ديناميكيات مشكلة كبلر النسبية
Translated title (French)
La dynamique du problème relativiste de Kepler
Translated title (Spanish)
La dinámica del problema relativista de Kepler

Identifiers

Other
https://openalex.org/W3087434633
DOI
10.1016/j.rinp.2020.103406

Is supplement to
https://openalex.org/W4310001956 (Other)
https://openalex.org/W4226215642 (Other)
https://openalex.org/W2991208308 (Other)
https://openalex.org/W2563936163 (Other)
https://openalex.org/W2091190549 (Other)
https://openalex.org/W2084004466 (Other)
https://openalex.org/W2009104623 (Other)
https://openalex.org/W1999694081 (Other)
https://openalex.org/W1983696948 (Other)
https://openalex.org/W1796527113 (Other)

GreSIS Basics Section

Is Global South Knowledge
Yes
Country
Egypt

References

  • https://openalex.org/W118184874
  • https://openalex.org/W1504047506
  • https://openalex.org/W2003059336
  • https://openalex.org/W2026342209
  • https://openalex.org/W2072455118
  • https://openalex.org/W2268665017
  • https://openalex.org/W2397446885
  • https://openalex.org/W2476275462
  • https://openalex.org/W2521949959
  • https://openalex.org/W2606496189
  • https://openalex.org/W2620258295
  • https://openalex.org/W2756147191
  • https://openalex.org/W2780576240
  • https://openalex.org/W2802987634
  • https://openalex.org/W2811100636
  • https://openalex.org/W2890100975
  • https://openalex.org/W2901392743
  • https://openalex.org/W2907957539
  • https://openalex.org/W2938779542
  • https://openalex.org/W3002935782
  • https://openalex.org/W3008806098
  • https://openalex.org/W3013472741
  • https://openalex.org/W3098292593
  • https://openalex.org/W3118861594