Published March 14, 2023
| Version v1
Publication
Open
On the Index of the Octic Number Field Defined by x8+ax+b
Description
Abstract Let K be an octic number field generated by a complex root θ of a monic irreducible trinomial F(x) = x 8 + ax + b ∈ Z[x], where a and b are two non-zero rational integers. Let i(K) be the index of K. In this paper, we show that i(K) is either 1 or a power of 2. Further, we give necessary and suffcient conditions depending only on a and b so that 2 is a prime common index divisor of K. In particular, we provide suffcient conditions for which K is non-monogenic. In such a way our results extend a result proved in [H. Ben Yakkou, On monogenity of certain number fields defned by trinomial of type x 8 + ax + b, Acta Math. Hungar. 166 (2022), 614-623], when some suffcient conditions of the divisibility of i(K) by 2 are provided.
Translated Descriptions
⚠️
This is an automatic machine translation with an accuracy of 90-95%
Translated Description (Arabic)
Abstract Let K be a octic number field generated by a complex root θ of a monic irreducible trinomial F(x )= x 8 + ax + b Ω Z[x], where a and b are two non - zero rational corrects. لنفترض أن i(K) هو مؤشر K. في هذه الورقة، نوضح أن i(K) إما 1 أو قوة 2. علاوة على ذلك، فإننا نعطي شروطًا ضرورية وكافية اعتمادًا على a و b فقط بحيث يكون 2 قاسمًا رئيسيًا للمؤشر المشترك لـ K. على وجه الخصوص، نوفر شروطًا كافية تكون فيها K غير أحادية المنشأ. وبهذه الطريقة، تمتد نتائجنا إلى نتيجة مثبتة في [H. Ben Yakkou, On monogenity of certain number fields defined by trinomial of type x 8 + ax + b, Acta Math. هنغار. 166 (2022)، 614-623]، عندما يتم توفير بعض الشروط الكافية لقابلية قسمة i(K) على 2.Translated Description (French)
Abstrait Soit K un champ de nombre octique généré par une racine complexe θ d'un trinôme irréductible monique F(x) = x 8 + ax + b ∈ Z[x], où a et b sont deux entiers rationnels non nuls. Soit i(K) l'indice de K. Dans cet article, nous montrons que i(K) est soit 1 soit une puissance de 2. En outre, nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes ne dépendant que de a et b de sorte que 2 est un diviseur d'indice commun premier de K. En particulier, nous fournissons des conditions suffisantes pour lesquelles K est non monogénique. De cette manière, nos résultats étendent un résultat prouvé dans [H. Ben Yakkou, On monogenity of certain number fields defned by trinomial of type x 8 + ax + b, Acta Math. Hungar. 166 (2022), 614-623], lorsque certaines conditions suffisantes de la divisibilité de i(K) par 2 sont fournies.Translated Description (Spanish)
Resumen Sea K un campo de número óctico generado por una raíz compleja θ de un trinomio mónico irreducible F(x) = x 8 + ax + b ∈ Z[x], donde a y b son dos enteros racionales distintos de cero. Sea i(K) el índice de K. En este artículo, mostramos que i(K) es 1 o una potencia de 2. Además, damos condiciones necesarias y suficientes que dependen solo de a y b, de modo que 2 es un divisor de índice común primo de K. En particular, proporcionamos condiciones suficientes para las cuales K no es monogénico. De tal manera nuestros resultados extienden un resultado probado en [H. Ben Yakkou, On monogenity of certain number fields defined by trinomial of type x 8 + ax + b, Acta Math. Hungar. 166 (2022), 614-623], cuando se proporcionan algunas condiciones suficientes de la divisibilidad de i(K) por 2.Files
latest.pdf.pdf
Files
(513.1 kB)
| Name | Size | Download all |
|---|---|---|
|
md5:d264f76662ac3ea0f0d31a700493cba9
|
513.1 kB | Preview Download |
Additional details
Additional titles
- Translated title (Arabic)
- على فهرس حقل الرقم الثماني المحدد بـ x8 +ax+b
- Translated title (French)
- Sur l'index du champ de nombre octique défini par x8+ax+b
- Translated title (Spanish)
- En el Índice del Campo de Número Óctico Definido por x8+ax+b
Identifiers
- Other
- https://openalex.org/W4324145770
- DOI
- 10.21203/rs.3.rs-2675695/v1