Generic singularities of nilpotent orbit closures

doi:10.60692/qa6hm-c0382

Published January 1, 2017 | Version v1

Publication Open

Generic singularities of nilpotent orbit closures

1. Academy of Mathematics and Systems Science
2. Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche
3. Lancaster University
4. University of Massachusetts Boston

According to a theorem of Brieskorn and Slodowy, the intersection of the nilpotent cone of a simple Lie algebra with a transverse slice to the subregular nilpotent orbit is a simple surface singularity. At the opposite extremity of the poset of nilpotent orbits, the closure of the minimal nilpotent orbit is also an isolated symplectic singularity, called a minimal singularity. For classical Lie algebras, Kraft and Procesi showed that these two types of singularities suffice to describe all generic singularities of nilpotent orbit closures: specifically, any such singularity is either a simple surface singularity, a minimal singularity, or a union of two simple surface singularities of type A2k−1. In the present paper, we complete the picture by determining the generic singularities of all nilpotent orbit closures in exceptional Lie algebras (up to normalization in a few cases). We summarize the results in some graphs at the end of the paper. In most cases, we also obtain simple surface singularities or minimal singularities, though often with more complicated branching than occurs in the classical types. There are, however, six singularities that do not occur in the classical types. Three of these are unibranch non-normal singularities: an SL2(C)-variety whose normalization is A2, an Sp4(C)-variety whose normalization is A4, and a two-dimensional variety whose normalization is the simple surface singularity A3. In addition, there are three 4-dimensional isolated singularities each appearing once. We also study an intrinsic symmetry action on the singularities, extending Slodowy's work for the singularity of the nilpotent cone at a point in the subregular orbit.

Translated Descriptions

This is an automatic machine translation with an accuracy of 90-95%

Translated Description (Arabic)

وفقًا لنظرية بريسكورن وسلودوي، فإن تقاطع مخروط النيل الفعال لجبر لي بسيط مع شريحة عرضية إلى مدار النيل الفعال شبه المنتظم هو تفرد سطحي بسيط. في الطرف المقابل من وضع المدارات صفرية القدرة، فإن إغلاق المدار صفر القدرة الأدنى هو أيضًا تفرد متعاطف معزول، يسمى التفرد الأدنى. بالنسبة لجبر لي الكلاسيكي، أظهر كرافت وبروسي أن هذين النوعين من التفرد يكفيان لوصف جميع التفردات العامة لإغلاق المدار النيل: على وجه التحديد، أي تفرد من هذا القبيل هو إما تفرد سطحي بسيط، أو تفرد بسيط، أو اتحاد بين تفردين سطحيين بسيطين من النوع A2k-1. في هذه الورقة، نكمل الصورة من خلال تحديد التفردات العامة لجميع عمليات إغلاق المدار الصفرية في جبر الكذب الاستثنائي (حتى التطبيع في حالات قليلة). نلخص النتائج في بعض الرسوم البيانية في نهاية الورقة. في معظم الحالات، نحصل أيضًا على تفردات سطحية بسيطة أو الحد الأدنى من التفردات، على الرغم من أنه غالبًا ما يكون مع تفرع أكثر تعقيدًا مما يحدث في الأنواع الكلاسيكية. ومع ذلك، هناك ستة تفردات لا تحدث في الأنواع الكلاسيكية. ثلاثة من هذه هي التفردات غير الطبيعية أحادية الفرع: تنوع SL2 (C) الذي يكون تطبيعه A2، وتنوع Sp4 (C) الذي يكون تطبيعه A4، وتنوع ثنائي الأبعاد يكون تطبيعه هو تفرد السطح البسيط A3. بالإضافة إلى ذلك، هناك ثلاث مفردات معزولة رباعية الأبعاد تظهر كل منها مرة واحدة. ندرس أيضًا فعل التماثل الجوهري على التفردات، مما يوسع عمل سلودوي لتفرد مخروط النيل في نقطة في المدار شبه المنتظم.

Translated Description (French)

Selon un théorème de Brieskorn et Slodowy, l'intersection du cône nilpotent d'une algèbre de Lie simple avec une tranche transversale à l'orbite nilpotente sous-régionale est une simple singularité de surface. À l'extrémité opposée de la position des orbites nilpotentes, la fermeture de l'orbite minimale nilpotente est également une singularité symplectique isolée, appelée singularité minimale. Pour les algèbres de Lie classiques, Kraft et Procesi ont montré que ces deux types de singularités suffisent à décrire toutes les singularités génériques des fermetures d'orbite nilpotentes : spécifiquement, une telle singularité est soit une simple singularité de surface, soit une singularité minimale, soit une union de deux simples singularités de surface de type A2k−1. Dans le présent article, nous complétons le tableau en déterminant les singularités génériques de toutes les fermetures d'orbite nilpotentes dans les algèbres de Lie exceptionnelles (jusqu'à la normalisation dans quelques cas). Nous résumons les résultats dans quelques graphiques à la fin de l'article. Dans la plupart des cas, nous obtenons également des singularités de surface simples ou des singularités minimales, bien que souvent avec des ramifications plus compliquées que celles qui se produisent dans les types classiques. Il y a cependant six singularités qui ne se produisent pas dans les types classiques. Trois d'entre elles sont des singularités unibranch non-normales : une variété SL2(C) dont la normalisation est A2, une variété Sp4(C) dont la normalisation est A4, et une variété bidimensionnelle dont la normalisation est la simple singularité de surface A3. De plus, il existe trois singularités isolées en 4 dimensions apparaissant chacune une fois. Nous étudions également une action de symétrie intrinsèque sur les singularités, prolongeant le travail de Slodowy pour la singularité du cône nilpotent en un point de l'orbite sous-régionale.

Translated Description (Spanish)

Según un teorema de Brieskorn y Slodowy, la intersección del cono nilpotente de un álgebra de Lie simple con una rebanada transversal a la órbita nilpotente subregular es una singularidad superficial simple. En el extremo opuesto del poset de órbitas nilpotentes, el cierre de la órbita nilpotente mínima es también una singularidad simpléctica aislada, llamada singularidad mínima. Para las álgebras de Lie clásicas, Kraft y Procesi demostraron que estos dos tipos de singularidades son suficientes para describir todas las singularidades genéricas de los cierres de órbita nilpotentes: específicamente, cualquier singularidad de este tipo es una singularidad superficial simple, una singularidad mínima o una unión de dos singularidades superficiales simples de tipo A2k−1. En el presente trabajo, completamos el cuadro determinando las singularidades genéricas de todos los cierres de órbitas nilpotentes en álgebras de Lie excepcionales (hasta la normalización en algunos casos). Resumimos los resultados en algunos gráficos al final del artículo. En la mayoría de los casos, también obtenemos singularidades superficiales simples o singularidades mínimas, aunque a menudo con ramificaciones más complicadas que las que se producen en los tipos clásicos. Hay, sin embargo, seis singularidades que no se dan en los tipos clásicos. Tres de ellas son singularidades no normales unibranquiales: una variedad SL2(C) cuya normalización es A2, una variedad Sp4(C) cuya normalización es A4 y una variedad bidimensional cuya normalización es la singularidad superficial simple A3. Además, hay tres singularidades aisladas de 4 dimensiones, cada una de las cuales aparece una vez. También estudiamos una acción de simetría intrínseca sobre las singularidades, extendiendo el trabajo de Slodowy para la singularidad del cono nilpotente en un punto de la órbita subregular.

Files