Published August 22, 2022
| Version v1
Publication
Open
On Cauchy problem for fractional parabolic-elliptic Keller-Segel model
- 1. Van Lang University
- 2. Harbin Engineering University
- 3. AGH University of Krakow
Description
Abstract In this paper, we concern about a modified version of the Keller-Segel model. The Keller-Segel is a system of partial differential equations used for modeling Chemotaxis in which chemical substances impact the movement of mobile species. For considering memory effects on the model, we replace the classical derivative with respect to time variable by the time-fractional derivative in the sense of Caputo. From this modification, we focus on the well-posedness of the Cauchy problem associated with such the model. Precisely, when the spatial variable is considered in the space R d {{\mathbb{R}}}^{d} , a global solution is obtained in a critical homogeneous Besov space with the assumption that the initial datum is sufficiently small. For the bounded domain case, by using a discrete spectrum of the Neumann Laplace operator, we provide the existence and uniqueness of a mild solution in Hilbert scale spaces. Moreover, the blowup behavior is also studied. To overcome the challenges of the problem and obtain all the aforementioned results, we use the Banach fixed point theorem, some special functions like the Mainardi function and the Mittag-Leffler function, as well as their properties.
Translated Descriptions
⚠️
This is an automatic machine translation with an accuracy of 90-95%
Translated Description (Arabic)
الملخص في هذه الورقة، نحن قلقون بشأن نسخة معدلة من نموذج كيلر- سيجل. كيلر- سيجل هو نظام من المعادلات التفاضلية الجزئية المستخدمة لنمذجة الانجذاب الكيميائي حيث تؤثر المواد الكيميائية على حركة الأنواع المتنقلة. للنظر في تأثيرات الذاكرة على النموذج، نستبدل المشتق الكلاسيكي فيما يتعلق بالمتغير الزمني بالمشتق الكسري الزمني بمعنى كابوتو. من هذا التعديل، نركز على الوضع الجيد لمشكلة كوشي المرتبطة بمثل هذا النموذج. على وجه التحديد، عندما يتم النظر في المتغير المكاني في الفضاء R d {{\mathbb{R }}^{ d} ، يتم الحصول على حل عالمي في مساحة بيسوف المتجانسة الحرجة مع افتراض أن المسند الأولي صغير بما فيه الكفاية. بالنسبة لحالة المجال المحدود، باستخدام طيف منفصل لمشغل نيومان لابلاس، نوفر وجود وتفرد حل خفيف في مساحات مقياس هيلبرت. علاوة على ذلك، يتم أيضًا دراسة سلوك الانفجار. للتغلب على تحديات المشكلة والحصول على جميع النتائج المذكورة أعلاه، نستخدم نظرية النقاط الثابتة للبنك، وبعض الوظائف الخاصة مثل دالة Mainardi ودالة Mittag - Leffler، بالإضافة إلى خصائصها.Translated Description (English)
Abstract In this paper, we are concerned about a modified version of the Keller-Segel model. The Keller-Segel is a system of partial differential equations used for modeling Chemotaxis in which chemical substances impact the movement of mobile species. For considering memory effects on the model, we replace the classical derivative with respect to time variable by the time-fractional derivative in the sense of Caputo. From this modification, we focus on the well-posedness of the Cauchy problem associated with such a model. Precisely, when the spatial variable is considered in the space R d {{\mathbb{R}}}^{d} , a global solution is obtained in a critical homogeneous Besov space with the assumption that the initial datum is sufficiently small. For the bounded domain case, by using a discrete spectrum of the Neumann Laplace operator, we provide the existence and uniqueness of a mild solution in Hilbert scale spaces. Moreover, the blowup behavior is also studied. To overcome the challenges of the problem and obtain all the aforementioned results, we use the Banach fixed point theorem, some special functions like the Mainardi function and the Mittag-Leffler function, as well as their properties.Translated Description (French)
Résumé Dans cet article, nous sommes préoccupés par une version modifiée du modèle de Keller-Segel. Le Keller-Segel est un système d'équations aux dérivées partielles utilisé pour modéliser la chimiotaxie dans laquelle les substances chimiques ont un impact sur le mouvement des espèces mobiles. Pour considérer les effets de mémoire sur le modèle, nous remplaçons la dérivée classique par rapport à la variable temporelle par la dérivée temps-fractionnaire au sens de Caputo. À partir de cette modification, nous nous concentrons sur le bien-fondé du problème de Cauchy associé à un tel modèle. Précisément, lorsque la variable spatiale est considérée dans l'espace R d {{\mathbb{R}}}^{d} , une solution globale est obtenue dans un espace Besov homogène critique avec l'hypothèse que la donnée initiale est suffisamment petite. Pour le cas du domaine borné, en utilisant un spectre discret de l'opérateur Neumann Laplace, nous fournissons l'existence et l'unicité d'une solution douce dans les espaces d'échelle de Hilbert. De plus, le comportement de l'explosion est également étudié. Pour surmonter les défis du problème et obtenir tous les résultats susmentionnés, nous utilisons le théorème du point fixe de Banach, certaines fonctions spéciales comme la fonction Mainardi et la fonction Mittag-Leffler, ainsi que leurs propriétés.Translated Description (Spanish)
Resumen En este artículo, nos preocupa una versión modificada del modelo de Keller-Segel. El Keller-Segel es un sistema de ecuaciones diferenciales parciales utilizado para modelar la quimiotaxis en la que las sustancias químicas impactan el movimiento de las especies móviles. Para considerar los efectos de memoria en el modelo, reemplazamos la derivada clásica con respecto a la variable de tiempo por la derivada fraccionaria de tiempo en el sentido de Caputo. A partir de esta modificación, nos centramos en la buena posición del problema de Cauchy asociado con dicho modelo. Precisamente, cuando se considera la variable espacial en el espacio R d {{\mathbb{R}}}^{d} , se obtiene una solución global en un espacio de Besov homogéneo crítico con el supuesto de que el dato inicial es suficientemente pequeño. Para el caso de dominio acotado, mediante el uso de un espectro discreto del operador de Neumann Laplace, proporcionamos la existencia y la singularidad de una solución leve en espacios de escala de Hilbert. Además, también se estudia el comportamiento de la explosión. Para superar los desafíos del problema y obtener todos los resultados mencionados anteriormente, utilizamos el teorema del punto fijo de Banach, algunas funciones especiales como la función de Mainardi y la función de Mittag-Leffler, así como sus propiedades.Files
pdf.pdf
Files
(2.7 MB)
| Name | Size | Download all |
|---|---|---|
|
md5:2f163fda81db891933eb5be7ae37b4dd
|
2.7 MB | Preview Download |
Additional details
Additional titles
- Translated title (Arabic)
- في مشكلة كوشي لنموذج كيلر- سيجل القطع المكافئ البيضاوي الكسري
- Translated title (English)
- On Cauchy problem for fractional parabolic-elliptic Keller-Segel model
- Translated title (French)
- Sur le problème de Cauchy pour le modèle fractionnaire parabolique-elliptique de Keller-Segel
- Translated title (Spanish)
- Sobre el problema de Cauchy para el modelo de Keller-Segel parabólico-elíptico fraccional
Identifiers
- Other
- https://openalex.org/W4292649377
- DOI
- 10.1515/anona-2022-0256
References
- https://openalex.org/W166242285
- https://openalex.org/W1848640142
- https://openalex.org/W1987307083
- https://openalex.org/W1987347396
- https://openalex.org/W1991415277
- https://openalex.org/W1995794459
- https://openalex.org/W1998312585
- https://openalex.org/W2007430988
- https://openalex.org/W2015892872
- https://openalex.org/W2021821724
- https://openalex.org/W2037359695
- https://openalex.org/W2042892258
- https://openalex.org/W2068213416
- https://openalex.org/W2073171977
- https://openalex.org/W2076961733
- https://openalex.org/W2084041036
- https://openalex.org/W2100830217
- https://openalex.org/W2101539302
- https://openalex.org/W2304489908
- https://openalex.org/W2593219856
- https://openalex.org/W2898301637
- https://openalex.org/W2963981371
- https://openalex.org/W2964017625
- https://openalex.org/W2964312569
- https://openalex.org/W2992566495
- https://openalex.org/W2994630725
- https://openalex.org/W3091929784
- https://openalex.org/W3101949413
- https://openalex.org/W3107155732
- https://openalex.org/W3134261461
- https://openalex.org/W3147132982
- https://openalex.org/W3147825967
- https://openalex.org/W3153364090
- https://openalex.org/W3177602060
- https://openalex.org/W3198441460
- https://openalex.org/W4239838448