Published August 1, 2023 | Version v1
Publication Open

Diagonals Separating the Square of a Continuum

  • 1. Universidad Nacional Autónoma de México
  • 2. Jan Kochanowski University

Description

Abstract A metric continuum X is indecomposable if it cannot be put as the union of two of its proper subcontinua. A subset R of X is said to be continuumwise connected provided that for each pair of points $$p,q\in R$$ p , q ∈ R , there exists a subcontinuum M of X such that $$\{p,q\}\subset M\subset R$$ { p , q } ⊂ M ⊂ R . Let $$X^{2}$$ X 2 denote the Cartesian square of X and $$\Delta $$ Δ the diagonal of $$X^{2}$$ X 2 . Recently, H. Katsuura asked if for a continuum X , distinct from the arc, $$X^{2}\setminus \Delta $$ X 2 \ Δ is continuumwise connected if and only if X is decomposable. In this paper, we show that no implication in this question holds. For the proof of the non-necessity, we use the dynamical properties of a suitable homeomorphism of the Cantor set onto itself to construct an appropriate indecomposable continuum X .

⚠️ This is an automatic machine translation with an accuracy of 90-95%

Translated Description (Arabic)

الملخص المتسلسلة المترية X غير قابلة للتحلل إذا لم يكن من الممكن وضعها على أنها اتحاد لاثنين من شبه قاراتها المناسبة. ويقال إن المجموعة الفرعية R من X متصلة بشكل مستمر بشرط أن يكون لكل زوج من النقاط $$p,q\in R$ p , q\ R ، هناك M فرعية من X بحيث $\{ p,q\}\ subset M\subet R ${ p , q } M\ R . دع $$X^{ 2 }$ X 2 تشير إلى المربع الديكارتي لـ X و $$\ Delta $$ Δ قطري $$X^{ 2 }$$ X 2 . في الآونة الأخيرة، سأل H. Katsuura عما إذا كانت السلسلة المتصلة X ، المتميزة عن القوس، $$X^{ 2}\setminus \Delta $$ X 2 \ Δ متصلة بشكل مستمر إذا وفقط إذا كانت X قابلة للتحلل. في هذه الورقة، نظهر أنه لا يوجد أي تأثير ضمني في هذا السؤال. لإثبات عدم الضرورة، نستخدم الخصائص الديناميكية لتشابه مناسب للقائد الفرقة الموسيقية على نفسه لبناء سلسلة متصلة مناسبة غير قابلة للتحلل X .

Translated Description (French)

Résumé Un continuum métrique X est indécomposable s'il ne peut pas être mis comme l'union de deux de ses sous-continus propres. On dit qu'un sous-ensemble R de X est connecté de manière continue à condition que pour chaque paire de points $$p,q\dans R$$ p , q ∈ R , il existe un sous-continuum M de X tel que $$\{p,q\}\sous-ensemble M\sous-ensemble R$$ { p , q } ? M ? R . Soient $$X^{2}$$ X 2 le carré cartésien de X et $$\Delta $$ Δ la diagonale de $$X^{2}$$ X 2 . Récemment, H. Katsuura a demandé si pour un continuum X , distinct de l'arc, $$X^{2}\setminus \Delta $$ X 2 \ Δ est connecté de manière continue si et seulement si X est décomposable. Dans cet article, nous montrons qu'aucune implication dans cette question ne tient. Pour la preuve de la non-nécessité, nous utilisons les propriétés dynamiques d'un homéomorphisme approprié de l'ensemble Cantor sur lui-même pour construire un continuum indécomposable approprié X.

Translated Description (Spanish)

Resumen Un continuo métrico X es indescomponible si no se puede poner como la unión de dos de su subcontinua propia. Se dice que un subconjunto R de X está conectado de forma continua siempre que para cada par de puntos $$p,q\en R$$ p , q ∈ R , exista un subconjunto M de X tal que $$\{p,q\}\subconjunto M\subconjunto R$$ { p , q } M R . Sea $$X^{2}$$ X 2 el cuadrado cartesiano de X y $$\Delta $$ Δ la diagonal de $$X^{2}$$ X 2 . Recientemente, H. Katsuura preguntó si para un continuo X , distinto del arco, $$X^{2}\setminus \Delta $$ X 2 \ Δ está conectado de forma continua si y solo si X es descomponible. En este documento, mostramos que no hay implicación en esta pregunta. Para la prueba de la no necesidad, utilizamos las propiedades dinámicas de un homeomorfismo adecuado del conjunto de Cantor sobre sí mismo para construir un continuo indescomponible apropiado X.

Files

s40840-023-01562-7.pdf.pdf

Files (255.7 kB)

⚠️ Please wait a few minutes before your translated files are ready ⚠️ Note: Some files might be protected thus translations might not work.
Name Size Download all
md5:5e273ec82c37f17fbfe7040e5961151c
255.7 kB
Preview Download

Additional details

Additional titles

Translated title (Arabic)
الأقطار التي تفصل مربع الاستمرارية
Translated title (French)
Diagonales séparant le carré d'un continuum
Translated title (Spanish)
Diagonales que separan el cuadrado de un continuo

Identifiers

Other
https://openalex.org/W4385455095
DOI
10.1007/s40840-023-01562-7

GreSIS Basics Section

Is Global South Knowledge
Yes
Country
Mexico

References

  • https://openalex.org/W1859770251
  • https://openalex.org/W1965099856
  • https://openalex.org/W2442665527
  • https://openalex.org/W2770800927
  • https://openalex.org/W2963566784
  • https://openalex.org/W3008114199
  • https://openalex.org/W841240901