A New Proof of Rational Cycles for Collatz-Like Functions Using a Coprime Condition
Description
In this paper, we study the bounded trajectories of Collatz-like functions. Fix α , β ∈ Z > 0 so that α and β are coprime. Let k ¯ = k 1 , … , k β − 1 so that for each 1 ≤ i ≤ β − 1 , k i ∈ Z > 0 , k i is coprime to α and β , and k i ≡ i mod β . We define the function C α , β , k ¯ : Z > 0 ⟶ Z > 0 and the sequence n , C α , β , k ¯ n , C α , β , k ¯ 2 n , ⋯ a trajectory of n . We say that the trajectory of n is an integral loop if there exists some N in Z > 0 so that C α , β , k ¯ N n = n . We define the characteristic mapping χ α , β , k ¯ : Z > 0 ⟶ 0,1 , … , β − 1 and the sequence n , χ α , β , k ¯ n , χ α , β , k ¯ 2 n , ⋯ the characteristic trajectory of n . Let B ∈ Z β be a β -adic sequence so that B = χ α , β , k ¯ i n i ≥ 0 . We say that B is eventually periodic if it eventually has a purely β -adic expansion. We show that the trajectory of n eventually enters an integral loop if and only if B is eventually periodic.
Translated Descriptions
Translated Description (Arabic)
في هذه الورقة، ندرس المسارات المحدودة للوظائف الشبيهة بـ Collatz. قم بتثبيت ألفا ، بيتا زد > 0 بحيث تكون ألفا وبيتا مشتركين. لنفترض أن k '= k 1 ، ... ، k β − 1 بحيث يكون لكل 1 ≤ i ≤ β − 1 ، k i Ω Z > 0 ، k i هو coprime إلى α و β ، و ki ' i mod β . نحدد الدالة C α ، β ، k ': Z > 0 ⟶ Z > 0 والتسلسل n ، C α ، β ، k 'n ، C α ، β ، k ' 2 n ، مسار n . نقول أن مسار n هو حلقة متكاملة إذا كان هناك بعض N في Z > 0 بحيث C α ، β ، k ' Nn = n . نحن نحدد رسم الخرائط المميزة χ α ، β ، k ': Z > 0،1 ⟶ ، ... ، β -1 والتسلسل n ، χ α ، β ، k 'n ، χ α ، β ، k ' 2 n ، المسار المميز لـ n . لنفترض أن ب ض β تكون تسلسلًا β - adic بحيث B = χ α ، β ، k 'in i ≥ 0 . نقول أن B يكون دوريًا في النهاية إذا كان له في النهاية تمدد β - adic بحت. نظهر أن مسار n يدخل في النهاية في حلقة متكاملة إذا وفقط إذا كان B دوريًا في النهاية.Translated Description (French)
Dans cet article, nous étudions les trajectoires bornées des fonctions de type Collatz. Fixez α , β ∈ Z > 0 de sorte que α et β soient coprime. Soit k ¯ = k 1 , … , k β − 1 de sorte que pour chaque 1 ≤ i ≤ β − 1 , k i ∈ Z > 0 , k i est premier avec α et β , et k i ≡ i mod β . Nous définissons la fonction C α , β , k ¯ : Z > 0 ⟶ Z > 0 et la séquence n , C α , β , k ¯ n , C α , β , k ¯ 2 n , une trajectoire de n. Nous disons que la trajectoire de n est une boucle intégrale s'il existe quelques N dans Z > 0 de sorte que C α , β , k ¯ N n = n. Nous définissons la cartographie caractéristique χ α , β , k ¯ : Z > 0 ⟶ 0,1 , … , β − 1 et la séquence n , χ α , β , k ¯ n , χ α , β , k ¯ 2 n , la trajectoire caractéristique de n. Soit B ∈ Z β une séquence β -adique telle que B = χ α , β , k ¯ i n i ≥ 0 . Nous disons que B est éventuellement périodique s'il a éventuellement une expansion purement β -adique. Nous montrons que la trajectoire de n entre éventuellement dans une boucle intégrale si et seulement si B est éventuellement périodique.Translated Description (Spanish)
En este artículo, estudiamos las trayectorias acotadas de las funciones tipo Collatz. Fije α , β ∈ Z > 0 para que α y β sean coprimos. Sea k ¯ = k 1 , … , k β − 1 de modo que para cada 1 ≤ i ≤ β − 1 , k i ∈ Z > 0 , k i es coprima a α y β , y k i ≡ i mod β . Definimos la función C α , β , k ¯ : Z > 0 ⟶ Z > 0 y la secuencia n , C α , β , k ¯ n , C α , β , k ¯ 2 n , " una trayectoria de n . Decimos que la trayectoria de n es un bucle integral si existe algún N en Z > 0 , de modo que C α , β , k ¯ N n = n . Definimos el mapeo característico χ α , β , k ¯ : Z > 0 ⟶ 0,1 , … , β − 1 y la secuencia n , χ α , β , k ¯ n , χ α , β , k ¯ 2 n , la trayectoria característica de n . Sea B ∈ Z β una secuencia β -ádica de modo que B = χ α , β , k ¯ i n i ≥ 0 . Decimos que B es eventualmente periódico si finalmente tiene una expansión puramente β -ádica. Mostramos que la trayectoria de n eventualmente entra en un bucle integral si y solo si B es eventualmente periódico.Files
5159528.pdf.pdf
Files
(4.5 kB)
| Name | Size | Download all |
|---|---|---|
|
md5:57ad8cab4b5148149466d3c44cc034bd
|
4.5 kB | Preview Download |
Additional details
Additional titles
- Translated title (Arabic)
- دليل جديد على الدورات المنطقية لوظائف تشبه Collatz باستخدام شرط Coprime
- Translated title (French)
- Une nouvelle preuve des cycles rationnels pour les fonctions de type collatz utilisant une condition de coprime
- Translated title (Spanish)
- Una nueva prueba de ciclos racionales para funciones similares a Collatz utilizando una condición de coprime
Identifiers
- Other
- https://openalex.org/W4386519011
- DOI
- 10.1155/2023/5159528
References
- https://openalex.org/W328102545
- https://openalex.org/W2112053931
- https://openalex.org/W2163925910
- https://openalex.org/W4214486993
- https://openalex.org/W4230172941
- https://openalex.org/W4246319563
- https://openalex.org/W4250820530