Published May 13, 2020
| Version v1
Publication
Open
A Review on Fractional Differential Equations and a Numerical Method to Solve Some Boundary Value Problems
- 1. University of Buenos Aires
- 2. National University of General San Martín
Description
Fractional differential equations can describe the dynamics of several complex and nonlocal systems with memory. They arise in many scientific and engineering areas such as physics, chemistry, biology, biophysics, economics, control theory, signal and image processing, etc. Particularly, nonlinear systems describing different phenomena can be modeled with fractional derivatives. Chaotic behavior has also been reported in some fractional models. There exist theoretical results related to existence and uniqueness of solutions to initial and boundary value problems with fractional differential equations; for the nonlinear case, there are still few of them. In this work we will present a summary of the different definitions of fractional derivatives and show models where they appear, including simple nonlinear systems with chaos. Existing results on the solvability of classical fractional differential equations and numerical approaches are summarized. Finally, we propose a numerical scheme to approximate the solution to linear fractional initial value problems and boundary value problems.
Translated Descriptions
⚠️
This is an automatic machine translation with an accuracy of 90-95%
Translated Description (Arabic)
يمكن أن تصف المعادلات التفاضلية الجزئية ديناميكيات العديد من الأنظمة المعقدة وغير المحلية مع الذاكرة. وهي تنشأ في العديد من المجالات العلمية والهندسية مثل الفيزياء والكيمياء والبيولوجيا والفيزياء الحيوية والاقتصاد ونظرية التحكم ومعالجة الإشارات والصور وما إلى ذلك. على وجه الخصوص، يمكن نمذجة الأنظمة غير الخطية التي تصف الظواهر المختلفة بمشتقات كسور. كما تم الإبلاغ عن السلوك الفوضوي في بعض النماذج الجزئية. توجد نتائج نظرية تتعلق بوجود وتفرد الحلول لمشاكل القيمة الأولية والحدودية مع المعادلات التفاضلية الجزئية ؛ بالنسبة للحالة غير الخطية، لا يزال هناك عدد قليل منها. في هذا العمل، سنقدم ملخصًا للتعريفات المختلفة للمشتقات الكسرية ونعرض النماذج التي تظهر فيها، بما في ذلك الأنظمة البسيطة غير الخطية ذات الفوضى. يتم تلخيص النتائج الحالية حول قابلية حل المعادلات التفاضلية الكسرية الكلاسيكية والأساليب العددية. وأخيرًا، نقترح مخططًا رقميًا لتقريب الحل لمسائل القيمة الأولية الكسرية الخطية ومسائل القيمة الحدية.Translated Description (French)
Les équations différentielles fractionnaires peuvent décrire la dynamique de plusieurs systèmes complexes et non locaux avec mémoire. Ils apparaissent dans de nombreux domaines scientifiques et d'ingénierie tels que la physique, la chimie, la biologie, la biophysique, l'économie, la théorie du contrôle, le traitement du signal et de l'image, etc. En particulier, les systèmes non linéaires décrivant différents phénomènes peuvent être modélisés avec des dérivées fractionnaires. Un comportement chaotique a également été rapporté dans certains modèles fractionnaires. Il existe des résultats théoriques liés à l'existence et à l'unicité des solutions aux problèmes de valeurs initiales et limites avec les équations différentielles fractionnaires ; pour le cas non linéaire, il y en a encore peu. Dans ce travail, nous présenterons un résumé des différentes définitions des dérivés fractionnaires et montrerons les modèles où ils apparaissent, y compris les systèmes non linéaires simples avec chaos. Les résultats existants sur la solvabilité des équations différentielles fractionnaires classiques et des approches numériques sont résumés. Enfin, nous proposons un schéma numérique pour approximer la solution aux problèmes de valeur initiale fractionnaire linéaire et aux problèmes de valeur limite.Translated Description (Spanish)
Las ecuaciones diferenciales fraccionarias pueden describir la dinámica de varios sistemas complejos y no locales con memoria. Surgen en muchas áreas científicas y de ingeniería como la física, la química, la biología, la biofísica, la economía, la teoría de control, el procesamiento de señales e imágenes, etc. Particularmente, los sistemas no lineales que describen diferentes fenómenos se pueden modelar con derivadas fraccionarias. El comportamiento caótico también se ha informado en algunos modelos fraccionarios. Existen resultados teóricos relacionados con la existencia y la singularidad de las soluciones a los problemas de valor inicial y de límite con ecuaciones diferenciales fraccionarias; para el caso no lineal, todavía hay pocos de ellos. En este trabajo presentaremos un resumen de las diferentes definiciones de derivadas fraccionarias y mostraremos modelos donde aparecen, incluyendo sistemas no lineales simples con caos. Se resumen los resultados existentes sobre la solvencia de las ecuaciones diferenciales fraccionarias clásicas y los enfoques numéricos. Finalmente, proponemos un esquema numérico para aproximar la solución a problemas de valor inicial fraccionario lineal y problemas de valor límite.Files
67141.pdf
Files
(1.2 MB)
| Name | Size | Download all |
|---|---|---|
|
md5:be454dbae0e418fb98259ddf559d922c
|
1.2 MB | Preview Download |
Additional details
Additional titles
- Translated title (Arabic)
- مراجعة المعادلات التفاضلية الكسرية وطريقة عددية لحل بعض مسائل القيمة الحدية
- Translated title (French)
- Un examen des équations différentielles fractionnaires et une méthode numérique pour résoudre certains problèmes de valeur limite
- Translated title (Spanish)
- Una revisión de las ecuaciones diferenciales fraccionarias y un método numérico para resolver algunos problemas de valores límite
Identifiers
- Other
- https://openalex.org/W2944854021
- DOI
- 10.5772/intechopen.86273
References
- https://openalex.org/W1675532843
- https://openalex.org/W1989488152
- https://openalex.org/W2006205876
- https://openalex.org/W2040469380
- https://openalex.org/W2110908069
- https://openalex.org/W2129410759
- https://openalex.org/W2135821750
- https://openalex.org/W2146447064
- https://openalex.org/W2157403810
- https://openalex.org/W2161458168
- https://openalex.org/W2170727216
- https://openalex.org/W2172005931
- https://openalex.org/W2301173684
- https://openalex.org/W2464593170
- https://openalex.org/W2531211964
- https://openalex.org/W2595719915
- https://openalex.org/W2596712155
- https://openalex.org/W2758639751
- https://openalex.org/W2772329151
- https://openalex.org/W2779288331
- https://openalex.org/W2781094806
- https://openalex.org/W2790657262
- https://openalex.org/W2803859769
- https://openalex.org/W2803993163
- https://openalex.org/W2884796633
- https://openalex.org/W2950965409
- https://openalex.org/W2963718600
- https://openalex.org/W3100584909
- https://openalex.org/W4211052487
- https://openalex.org/W4247953052
- https://openalex.org/W4302067267