Using ANNs Approach for Solving Fractional Order Volterra Integro-differential Equations
- 1. Islamic Azad University of Urmia
- 2. Science Club
- 3. Çankaya University
- 4. Institute of Space Science
Description
Indeed, interesting properties of artificial neural networks approach made this non-parametric model a powerful tool in solving various complicated mathematical problems.The current research attempts to produce an approximate polynomial solution for special type of fractional order Volterra integrodifferential equations.The present technique combines the neural networks approach with the power series method to introduce an efficient iterative technique.To do this, a multi-layer feed-forward neural architecture is depicted for constructing a power series of arbitrary degree.Combining the initial conditions with the resulted series gives us a suitable trial solution.Substituting this solution instead of the unknown function and employing the least mean square rule, converts the origin problem to an approximated unconstrained optimization problem.Subsequently, the resulting nonlinear minimization problem is solved iteratively using the neural networks approach.For this aim, a suitable three-layer feed-forward neural architecture is formed and trained using a back-propagation supervised learning algorithm which is based on the gradient descent rule.In other words, discretizing the differential domain with a classical rule produces some training rules.By importing these to designed architecture as input signals, the indicated learning algorithm can minimize the defined criterion function to achieve the solution series coefficients.Ultimately, the analysis is accompanied by two numerical examples to illustrate the ability of the method.Also, some comparisons are made between the present iterative approach and another traditional technique.The obtained results reveal that our method is very effective, and in these examples leads to the better approximations.
Translated Descriptions
Translated Description (Arabic)
في الواقع، جعلت الخصائص المثيرة للاهتمام لنهج الشبكات العصبية الاصطناعية هذا النموذج غير البارامترية أداة قوية في حل مختلف المشاكل الرياضية المعقدة. يحاول البحث الحالي إنتاج حل متعدد الحدود تقريبي لنوع خاص من المعادلات التفاضلية الكسرية فولتيرا. تجمع التقنية الحالية بين نهج الشبكات العصبية وطريقة سلسلة الطاقة لتقديم تقنية تكرارية فعالة. للقيام بذلك، يتم تصوير بنية عصبية متعددة الطبقات للتغذية الأمامية لبناء سلسلة طاقة من درجة اعتباطية .الجمع بين الظروف الأولية والسلسلة الناتجة يعطينا حلاً تجريبياً مناسباً .استبدال هذا الحل بدلاً من الوظيفة غير المعروفة وتوظيف قاعدة المربع الأقل متوسطًا، يحول مشكلة الأصل إلى مشكلة تحسين غير مقيدة تقريبًا .وبالتالي، يتم حل مشكلة التقليل غير الخطي الناتجة بشكل متكرر باستخدام نهج الشبكات العصبية .لهذا الهدف، يتم تشكيل بنية عصبية مناسبة ثلاثية الطبقات للتغذية الأمامية وتدريبها باستخدام خوارزمية التعلم تحت الإشراف على الانتشار الخلفي والتي تستند إلى قاعدة النسب المتدرج .وبعبارة أخرى، فإن تفكيك المجال التفاضلي بقاعدة كلاسيكية ينتج بعض قواعد التدريب .عن طريق استيراد هذه إلى بنية مصممة كمدخلات الإشارات، يمكن لخوارزمية التعلم المشار إليها تقليل وظيفة المعيار المحددة لتحقيق معاملات سلسلة الحل. في نهاية المطاف، يرافق التحليل مثالان رقميان لتوضيح قدرة الطريقة .كما يتم إجراء بعض المقارنات بين النهج التكراري الحالي وتقنية تقليدية أخرى. تكشف النتائج التي تم الحصول عليها أن طريقتنا فعالة للغاية، وفي هذه الأمثلة تؤدي إلى تقريب أفضل.Translated Description (French)
En effet, les propriétés intéressantes de l'approche des réseaux neuronaux artificiels ont fait de ce modèle non paramétrique un outil puissant pour résoudre divers problèmes mathématiques compliqués. La recherche actuelle tente de produire une solution polynomiale approximative pour un type particulier d'équations d'ordre fractionnaire Volterra integrodifférentielles. La présente technique combine l'approche des réseaux neuronaux avec la méthode des séries de puissance pour introduire une technique itérative efficace. Pour ce faire, une architecture neuronale à anticipation multicouche est représentée pour construire une série de puissance de degré arbitraire. Combiner les conditions initiales avec la série résultante nous donne une solution d'essai appropriée. Substituer cette solution à la place de la fonction inconnue et utiliser la règle des moindres carrés moyens, convertit le problème d'origine en un problème d'optimisation approximatif non contraint. Par la suite, le problème de minimisation non linéaire résultant est résolu de manière itérative en utilisant l'approche des réseaux neuronaux. Dans ce but, une architecture neuronale anticipée à trois couches appropriée est formée et entraînée en utilisant un algorithme d'apprentissage supervisé par rétropropropagation qui est basé sur la règle de descente de gradient. En d'autres termes, discrétiser le domaine différentiel avec une règle classique produit quelques règles d'entraînement. En les important vers l'architecture conçue en entrée, l'algorithme d'apprentissage indiqué peut minimiser la fonction de critère définie pour atteindre les coefficients de la série de solutions.Enfin, l'analyse est accompagnée de deux exemples numériques pour illustrer la capacité de la méthode.En outre, certaines comparaisons sont faites entre la présente approche itérative et une autre technique traditionnelle.Les résultats obtenus révèlent que notre méthode est très efficace, et dans ces exemples conduit à de meilleures approximations.Translated Description (Spanish)
De hecho, las propiedades interesantes del enfoque de redes neuronales artificiales hicieron de este modelo no paramétrico una herramienta poderosa para resolver varios problemas matemáticos complicados. La investigación actual intenta producir una solución polinómica aproximada para un tipo especial de ecuaciones integrodiferenciales de orden fraccional de Volterra. La presente técnica combina el enfoque de redes neuronales con el método de series de potencias para introducir una técnica iterativa eficiente. Para hacer esto, se representa una arquitectura neuronal de alimentación directa multicapa para construir una serie de potencias de grado arbitrario. La combinación de las condiciones iniciales con la serie resultante nos da una solución de prueba adecuada. Sustituir esta solución en lugar de la función desconocida y emplear la regla del cuadrado medio mínimo, convierte el problema de origen en un problema de optimización no restringido aproximado. Posteriormente, el problema de minimización no lineal resultante se resuelve de forma iterativa utilizando el enfoque de redes neuronales. Para este objetivo, se forma y entrena una arquitectura neuronal de alimentación directa de tres capas adecuada utilizando un algoritmo de aprendizaje supervisado de retropropagación que se basa en la regla de descenso de gradiente. En otras palabras, la discretización del dominio diferencial con una regla clásica produce algunas reglas de entrenamiento. Importándolas a la arquitectura diseñada como entrada señales, el algoritmo de aprendizaje indicado puede minimizar la función de criterio definida para lograr los coeficientes de la serie de soluciones. En última instancia, el análisis se acompaña de dos ejemplos numéricos para ilustrar la capacidad del método. También, se hacen algunas comparaciones entre el presente enfoque iterativo y otra técnica tradicional. Los resultados obtenidos revelan que nuestro método es muy eficaz, y en estos ejemplos conduce a las mejores aproximaciones.Files
25866204.pdf.pdf
Files
(875.5 kB)
| Name | Size | Download all |
|---|---|---|
|
md5:2a55c0a9ed628239e91ef10b042850e8
|
875.5 kB | Preview Download |
Additional details
Additional titles
- Translated title (Arabic)
- استخدام نهج ANNs لحل المعادلات التكاملية التفاضلية لجهد الترتيب الكسري
- Translated title (French)
- Utilisation de l'approche ANNs pour résoudre les équations différentielles de Volterra Integro d'ordre fractionnaire
- Translated title (Spanish)
- Uso del Enfoque ANNS para Resolver Ecuaciones Integro-diferenciales de Volterra de Orden Fraccional
Identifiers
- Other
- https://openalex.org/W2566562249
- DOI
- 10.2991/ijcis.2017.10.1.32