Published April 18, 2022
| Version v1
Publication
Open
A Further Generalization of limn→∞n!/nn=1/e {\lim _{n \to \infty }}\root n \of {n!/n} = 1/e
Description
Abstract It is well-known, as follows from the Stirling's approximation n ! ∼ 2 π n ( n / e ) n n! \sim \sqrt {2\pi n{{\left( {n/e} \right)}^n}} , that n ! / n → 1 / e n \root n \of {n!/n \to 1/e} . A generalization of this limit is (1 1 s · 2 2 s · · · n n s ) 1 /n s +1 · n − 1 / ( s +1) → e − 1 / ( s +1)2 which was established by N. Schaumberger in 1989 (see [8]). The aim of this work is to establish a new generalization that is in fact an improvement of Schaumberger's formula for a general sequence A n of positive real numbers. All of the results are applied to some well-known sequences in mathematics, for example, for the prime numbers sequence and the sequence of perfect powers.
Translated Descriptions
⚠️
This is an automatic machine translation with an accuracy of 90-95%
Translated Description (Arabic)
الملخص من المعروف جيدًا، على النحو التالي من تقريب ستيرلنغ n ! 2 π n ( n / e ) n n! \sim \sqrt {2\pi n {{\left({n/e}\right )}^ n}} ، أن n !/n → 1 / e n \root n \of {n!/n \to 1/e} . تعميم هذا الحد هو (1 1 s · 2 2 s · · · n n s ) 1 /n s +1 · n − 1 / ( s +1) → e − 1 / ( s +1)2 الذي أنشأه N. Schaumberger في عام 1989 (انظر [8]). الهدف من هذا العمل هو إنشاء تعميم جديد هو في الواقع تحسين لصيغة شومبرجر لتسلسل عام من الأعداد الحقيقية الموجبة. يتم تطبيق جميع النتائج على بعض المتسلسلات المعروفة في الرياضيات، على سبيل المثال، لمتسلسلة الأعداد الأولية ومتسلسلة القوى الكاملة.Translated Description (French)
Résumé Il est bien connu, comme le montre l'approximation de Stirling n ! ∼ 2 π n ( n / e ) n n ! \sim \sqrt {2\pi n{{\left( {n/e} \right)}^n}} , que n ! / n → 1 / e n \root n \of {n !/n \to 1/e} . Une généralisation de cette limite est (1 1 s · 2 2 s · · · n n s ) 1 /n s +1 · n − 1 / ( s +1) → e − 1 / ( s +1)2 qui a été établie par N. Schaumberger en 1989 (voir [8]). Le but de ce travail est d'établir une nouvelle généralisation qui est en fait une amélioration de la formule de Schaumberger pour une séquence générale A n de nombres réels positifs. Tous les résultats sont appliqués à certaines séquences bien connues en mathématiques, par exemple, pour la séquence des nombres premiers et la séquence des puissances parfaites.Translated Description (Spanish)
Resumen Es bien sabido, como se desprende de la aproximación de Stirling n ! ∼ 2 π n ( n / e ) n n! \sim \sqrt {2\pi n{{\left( {n/e} \right)}^n}} , que n ! / n → 1 / e n \root n \of {n!/n \to 1/e} . Una generalización de este límite es (1 1 s · 2 2 s · · · n n s ) 1 /n s +1 · n − 1 / ( s +1) → e − 1 / ( s +1)2 que fue establecido por N. Schaumberger en 1989 (ver [8]). El objetivo de este trabajo es establecer una nueva generalización que sea, de hecho, una mejora de la fórmula de Schaumberger para una secuencia general A n de números reales positivos. Todos los resultados se aplican a algunas secuencias bien conocidas en matemáticas, por ejemplo, para la secuencia de números primos y la secuencia de potencias perfectas.Files
amsil-2022-0006.pdf
Files
(529.4 kB)
| Name | Size | Download all |
|---|---|---|
|
md5:b2bf674db31486496b87ac876e392c88
|
529.4 kB | Preview Download |
Additional details
Additional titles
- Translated title (Arabic)
- تعميم إضافي لـ limn→∞n!/nn=1/e {\lim _{ n \to \infty }}\root n \of {n!/n }= 1/e
- Translated title (French)
- Une autre généralisation de limn→∞n !/nn=1/e {\lim _{n \to \infty }}\root n \of {n !/n} = 1/e
- Translated title (Spanish)
- Una generalización adicional de limn→∞n!/nn=1/e {\lim _{n \to \infty }}\root n \of {n!/n} = 1/e
Identifiers
- Other
- https://openalex.org/W4224294323
- DOI
- 10.2478/amsil-2022-0006
References
- https://openalex.org/W2006825591
- https://openalex.org/W2094054391
- https://openalex.org/W2113269011
- https://openalex.org/W2315652003
- https://openalex.org/W2322501678
- https://openalex.org/W2326296603
- https://openalex.org/W4296234893