Published January 16, 2024
| Version v1
Publication
Open
The isomorphism problem for basic modules and the divisibility profile of the algebra of polynomials
Creators
- 1. Hacettepe University
- 2. Universidad Nacional Autónoma de México
- 3. Ohio University
- 4. Montgomery College
- 5. King Abdulaziz University
Description
Abstract While mutual congeniality of bases is known to guarantee that basic modules from so-related bases are isomorphic, the question of what can be said about isomorphism of basic modules in general has remained open. We show that, for some algebras, basic modules may be non-isomorphic. We also show that it is possible, for some algebras, for all basic modules to be isomorphic, regardless of congeniality. In the process, and as a byproduct, we introduce the notion of domains of divisibility of modules over arbitrary rings. The mechanism employed here to differentiate non-isomorphic basic modules is by showing that they have different domains of divisibility. Domains of divisibility measure how divisible a module can be; for those cases when divisibility is equivalent to injectivity, domains of divisibility provide a way to gauge injectivity of modules as an alternative to the domains of injectivity and other mechanisms in the literature. We focus on the algebra of polynomials with one variable, and observe that F [ x ] has a full divisibility profile for any field F . When F is algebraically closed, we see that the direct product and the direct sum of all Pascal basic modules have the smallest divisibility domain. We also analyze the diversity of the family of basic modules as we explore how many of those divisibility domains correspond to basic modules. We show that, for an arbitrary infinite field F , F [ x ] has infinitely many pairwise non-isomorphic basic modules, the divisibility profile of F [ x ] is complete, and for an algebraically closed field F , the collection of basic modules has any subset S of F with a non-empty at most countable complement, the set $$\{ x + \alpha | \alpha \notin S \}$$ { x + α | α ∉ S } as a domain of divisibility for some basic F [ x ]-module.
Translated Descriptions
⚠️
This is an automatic machine translation with an accuracy of 90-95%
Translated Description (Arabic)
في حين أنه من المعروف أن التجانس المتبادل للقواعد يضمن أن الوحدات الأساسية من القواعد ذات الصلة متشابهة، فإن مسألة ما يمكن قوله عن التماثل في الوحدات الأساسية بشكل عام ظلت مفتوحة. نوضح أنه بالنسبة لبعض الجبر، قد تكون الوحدات الأساسية غير متشابهة. نظهر أيضًا أنه من الممكن، بالنسبة لبعض الجبر، أن تكون جميع الوحدات الأساسية متماثلة الشكل، بغض النظر عن التجانس. في هذه العملية، وكمنتج ثانوي، نقدم مفهوم مجالات قابلية الوحدات للقسمة على الحلقات العشوائية. الآلية المستخدمة هنا للتمييز بين الوحدات الأساسية غير المتشابهة هي من خلال إظهار أن لها مجالات مختلفة من قابلية القسمة. تقيس مجالات قابلية القسمة مدى قابلية الوحدة للقسمة ؛ بالنسبة للحالات التي تكون فيها قابلية القسمة مكافئة للحقن، توفر مجالات قابلية القسمة طريقة لقياس حقن الوحدات كبديل لمجالات الحقن والآليات الأخرى في الأدبيات. نركز على جبر كثيرات الحدود بمتغير واحد، ونلاحظ أن F [ x ] لديه ملف تعريف كامل للقسمة لأي حقل F . عندما تكون F مغلقة جبريًا، نرى أن الناتج المباشر والمجموع المباشر لجميع وحدات باسكال الأساسية لهما أصغر مجال لقابلية القسمة. نقوم أيضًا بتحليل تنوع عائلة الوحدات الأساسية أثناء استكشاف عدد مجالات قابلية القسمة هذه التي تتوافق مع الوحدات الأساسية. نظهر أنه بالنسبة للحقل غير المحدود التعسفي F ، يحتوي F [ x ] على العديد من الوحدات الأساسية غير المتجانسة بشكل لا نهائي، وقد اكتمل ملف تعريف قابلية القسمة لـ F [ x ]، وبالنسبة للحقل المغلق جبريًا F، تحتوي مجموعة الوحدات الأساسية على أي مجموعة فرعية S من F مع تكملة غير فارغة على الأكثر، المجموعة $$\{ x +\alpha |\ alpha\ notin S \} ${ x + α | α α S } كمجال لقابلية القسمة لبعض وحدات F [ x ] الأساسية.Translated Description (French)
Résumé Alors que la convivialité mutuelle des bases est connue pour garantir que les modules de base à partir de bases ainsi apparentées sont isomorphes, la question de ce qui peut être dit sur l'isomorphisme des modules de base en général est restée ouverte. Nous montrons que, pour certaines algèbres, les modules de base peuvent être non isomorphes. Nous montrons également qu'il est possible, pour certaines algèbres, que tous les modules de base soient isomorphes, quelle que soit leur convivialité. Dans le processus, et en tant que sous-produit, nous introduisons la notion de domaines de divisibilité des modules sur des anneaux arbitraires. Le mécanisme utilisé ici pour différencier les modules de base non isomorphes consiste à montrer qu'ils ont des domaines de divisibilité différents. Les domaines de divisibilité mesurent à quel point un module peut être divisible ; pour les cas où la divisibilité est équivalente à l'injectivité, les domaines de divisibilité fournissent un moyen d'évaluer l'injectivité des modules comme alternative aux domaines de l'injectivité et à d'autres mécanismes de la littérature. Nous nous concentrons sur l'algèbre des polynômes à une variable et observons que F [ x ] a un profil de divisibilité complet pour tout champ F . Lorsque F est algébriquement fermé, on voit que le produit direct et la somme directe de tous les modules de base Pascal ont le plus petit domaine de divisibilité. Nous analysons également la diversité de la famille de modules de base en explorant combien de ces domaines de divisibilité correspondent aux modules de base. Nous montrons que, pour un champ infini arbitraire F , F [ x ] a une infinité de modules de base non isomorphes par paires, le profil de divisibilité de F [ x ] est complet, et pour un champ algébriquement fermé F , la collection de modules de base a n'importe quel sous-ensemble S de F avec un complément non vide au plus dénombrable, l'ensemble $$\{ x +\alpha |\ alpha\ notin S \}$$ { x + α | α ‹ S } comme domaine de divisibilité pour un module F [ x ] de base.Translated Description (Spanish)
Resumen Si bien se sabe que la congenialidad mutua de las bases garantiza que los módulos básicos de bases tan relacionadas sean isomórficos, la cuestión de qué se puede decir sobre el isomorfismo de los módulos básicos en general ha permanecido abierta. Mostramos que, para algunas álgebras, los módulos básicos pueden ser no isomorfos. También mostramos que es posible, para algunas álgebras, que todos los módulos básicos sean isomorfos, independientemente de la congenialidad. En el proceso, y como subproducto, introducimos la noción de dominios de divisibilidad de módulos sobre anillos arbitrarios. El mecanismo empleado aquí para diferenciar los módulos básicos no isomórficos es mostrar que tienen diferentes dominios de divisibilidad. Los dominios de divisibilidad miden cuán divisible puede ser un módulo; para aquellos casos en que la divisibilidad es equivalente a la inyectividad, los dominios de divisibilidad proporcionan una forma de medir la inyectividad de los módulos como una alternativa a los dominios de inyectividad y otros mecanismos en la literatura. Nos centramos en el álgebra de polinomios con una variable y observamos que F [ x ] tiene un perfil de divisibilidad completo para cualquier cuerpo F. Cuando F se cierra algebraicamente, vemos que el producto directo y la suma directa de todos los módulos básicos de Pascal tienen el dominio de divisibilidad más pequeño. También analizamos la diversidad de la familia de módulos básicos a medida que exploramos cuántos de esos dominios de divisibilidad corresponden a módulos básicos. Mostramos que, para un campo infinito arbitrario F , F [ x ] tiene infinitos módulos básicos no isomórficos por pares, el perfil de divisibilidad de F [ x ] está completo, y para un campo algebraicamente cerrado F , la colección de módulos básicos tiene cualquier subconjunto S de F con un complemento no vacío a lo sumo contable, el conjunto $$\{ x +\alpha |\ alpha\ notin S \}$ { x + α | α S } como un dominio de divisibilidad para algún módulo F [ x ] básico.Files
s13398-023-01547-y.pdf.pdf
Files
(331.1 kB)
| Name | Size | Download all |
|---|---|---|
|
md5:d3e6fc85e525dbcf3661a9301249cfef
|
331.1 kB | Preview Download |
Additional details
Additional titles
- Translated title (Arabic)
- مشكلة التماثل للوحدات الأساسية وملف قابلية القسمة لجبر كثيرات الحدود
- Translated title (French)
- Le problème de l'isomorphisme pour les modules de base et le profil de divisibilité de l'algèbre des polynômes
- Translated title (Spanish)
- El problema del isomorfismo para módulos básicos y el perfil de divisibilidad del álgebra de polinomios
Identifiers
- Other
- https://openalex.org/W4390902715
- DOI
- 10.1007/s13398-023-01547-y
References
- https://openalex.org/W1877357845
- https://openalex.org/W1963795372
- https://openalex.org/W1996285826
- https://openalex.org/W2009498087
- https://openalex.org/W2072065245
- https://openalex.org/W2098426524
- https://openalex.org/W2149669101
- https://openalex.org/W2151290870
- https://openalex.org/W2159433015
- https://openalex.org/W2409874771
- https://openalex.org/W2512609846
- https://openalex.org/W2526192057
- https://openalex.org/W2605922264
- https://openalex.org/W2606838187
- https://openalex.org/W2613899303
- https://openalex.org/W2791532510
- https://openalex.org/W2897851204
- https://openalex.org/W2920572363
- https://openalex.org/W2929195203
- https://openalex.org/W2968200536
- https://openalex.org/W3014494259
- https://openalex.org/W3021271171
- https://openalex.org/W3092179101
- https://openalex.org/W3120567199
- https://openalex.org/W3192389822