Universal potential estimates for $ 1 < p\leq 2-\frac{1}{n} $

Translated Description (Arabic)

نحن نمدد ما يسمى بالتقديرات المحتملة العالمية لنوع Kuusi - Mingione (J. Funct. Anal. 262: 4205-4269, 2012) إلى الحالة المفردة $ 1 < p\leq 2-1/n $ للمعادلة شبه الخطية مع بيانات القياس

في مجموعة فرعية مفتوحة محدودة $\Omega $ من $\ mathbb{R}^n $, $ n\geq 2 $, مع تدبير موقّع محدود $\mu $ في $\Omega $. تم تصميم المشغل $\operatorname{div}(A(x, \nabla u ))$ على غرار $ p $- Laplacian $\Delta_p u :={\ rm div}\, (|\ nabla u|^{ p -2}\nabla u )$, حيث يفترض أن اللاخطية $ A(x, \xi) $($ x, \xi\ in \mathbb{R }^n $) تفي بالنمو الطبيعي وظروف الرتابة للطلب $ p $, بالإضافة إلى بعض شروط الانتظام الإضافية في $ x $- variable.</ abstract>

Translated Description (English)

We extend the so-called universal potential estimates of Kuusi-Mingione type (J. Funct. Anal. 262: 4205-4269, 2012) to the singular case $1 < p\leq 2-1/n $ for the quasilinear equation with measure data

< disp-formula > < tex-math id="FE1"> \begin{document}$ \begin{equation*} -\operatorname{div}(A(x,\nabla u)) = \mu \end{equation*} $\end{document}

in a bounded open subset $ \Omega $ of $ \mathbb{R}^n $, $ n\geq 2$, with a finite signed measure $ \mu $ in $ \Omega $. The operator $ \operatorname{div}(A(x, \nabla u)) $ is modeled after the $ p $ -Laplacian $ \Delta_p u: = {\rm div}\, (|\nabla u|^{p-2}\nabla u) $, where the nonlinearity $ A(x, \xi) $ ($ x, \xi \in \mathbb{R}^n $) is assumed to satisfy natural growth and monotonicity conditions of order $ p $, as well as certain additional regularity conditions in the $ x $ -variable.

Translated Description (French)

Nous étendons les estimations de potentiel dites universelles de type Kuusi-Mingione (J. Funct. Anal. 262: 4205-4269, 2012) au cas singulier $ 1 < p\leq 2-1/n $ pour l'équation quasilinéaire avec les données de mesure

< disp-formula > < tex-math id="FE1"> \begin{document}$ \begin{equation*} -\operatorname{div}(A(x,\nabla u)) = \mu \end{equation*} $ \end{document}

dans un sous-ensemble ouvert borné $ \Omega $ de $ \mathbb{R}^n $ , $ n\geq 2 $ , avec une mesure finie signée $ \mu $ en $ \Omega $ . L'opérateur $ \operatorname{div}(A(x, \nabla u)) $ est modélisé d'après le $ p $ -Laplacian $ \Delta_p u : = {\rm div}\, (|\nabla u|^{p-2}\nabla u) $ , où la non-linéarité $ A(x, \xi) $ ( $ x, \xi\ in \mathbb{R}^n $ ) est supposée satisfaire aux conditions de croissance naturelle et de monotonie d'ordre $ p $ , ainsi qu'à certaines conditions de régularité supplémentaires dans la variable $ x $ .

Translated Description (Spanish)

Extendemos las llamadas estimaciones de potencial universal del tipo Kuusi-Mingione (J. Funct. Anal. 262: 4205-4269, 2012) al caso singular $ 1 < p\leq 2-1/n $ para la ecuación cuasilineal con datos de medida

< disp-formula > < tex-math id="FE1"> \begin{document}$ \begin{equation*} -\operatorname{div}(A(x,\nabla u)) = \mu \end{equation*} $\end{document}

en un subconjunto abierto delimitado $ \Omega $ de $ \mathbb{R}^n $, $ n\geq 2 $, con una medida firmada finita $ \mu $ en $ \Omega $. El operador $ \operatorname{div}(A(x, \nabla u)) $ se modela después del $ p $ -Laplaciano $ \Delta_p u: = {\rm div}\, (|\nabla u|^{p-2}\nabla u) $, donde se supone que la no linealidad $ A(x, \xi) $ ($ x, \xi\ in \mathbb{R}^n $) satisface las condiciones de crecimiento natural y monotonicidad de orden $ p $, así como ciertas condiciones de regularidad adicionales en el $ x $ -variable.