Extremal orders and races between palindromes in different bases
Description
Let $ b \geq 2 $ and $ n \geq 1 $ be integers. Then $ n $ is said to be a palindrome in base $ b $ (or $ b $-adic palindrome) if the representation of $ n $ in base $ b $ reads the same backward as forward. Let $ A_b (n) $ be the number of $ b $-adic palindromes less than or equal to $ n $. In this article, we obtain extremal orders of $ A_b (n) $. We also study the comparison between the number of palindromes in different bases and prove that if $ b \neq b_{1} $, then $ A_{b} (n) - A_{b_{1}} (n) $ changes signs infinitely often as $ n \rightarrow \infty $.
Translated Descriptions
Translated Description (Arabic)
دع $ b \geq 2 $ و $ n \geq 1 $ تكون أعدادًا صحيحة. ثم يُقال إن $ n $ متناظرة في الأساس $ b $ (أو $ b $-adic palindrome) إذا كان تمثيل $ n $ في الأساس $ b $ يقرأ نفس الاتجاه العكسي للأمام. لنفترض أن $ A_b (n )$ هو عدد المتناظرين $ b $-adic أقل من أو يساوي $ n $. في هذه المقالة، نحصل على أوامر متطرفة بقيمة $ A_b (n )$. ندرس أيضًا المقارنة بين عدد المتناظرين في قواعد مختلفة ونثبت أنه إذا $ b \neq b _{ 1 }$، فإن $ A _{ b }( n) - A _{ b _{ 1 }}( n )$ يتغير بشكل لانهائي في كثير من الأحيان مثل $ n \rightarrow \infty $.</ abstract>
Translated Description (French)
Soient $ b \geq 2 $ et $ n \geq 1 $ des entiers. On dit alors que $ n $ est un palindrome dans la base $ b $ ( ou $ b $ -palindrome adique) si la représentation de $ n $ dans la base $ b $ lit le même vers l'arrière que vers l'avant. Soit $ A_b (n) $ le nombre de palindromes $ b $-adiques inférieur ou égal à $ n $ . Dans cet article, nous obtenons des commandes extrêmes de $ A_b (n) $ . Nous étudions également la comparaison entre le nombre de palindromes dans différentes bases et prouvons que si $ b \neq b_{1} $ , alors $ A_{b} (n) - A_{b_{1}} (n) $ change de signe infiniment souvent comme $ n \rightarrow \infty $ .
Translated Description (Spanish)
Sea $ b \geq 2 $ y $ n \geq 1 $ enteros. Entonces se dice que $ n $ es un palíndromo en base $ b $ (o palíndromo $ b $-ádico) si la representación de $ n $ en base $ b $ dice lo mismo hacia atrás que hacia adelante. Sea $ A_b (n) $ el número de palíndromos $ b $-ádicos menor o igual a $ n $. En este artículo, obtenemos pedidos extremos de $ A_b (n) $. También estudiamos la comparación entre el número de palíndromos en diferentes bases y demostramos que si $ b \neq b_{1} $, entonces $ A_{b} (n) - A_{b_{1}} (n) $ cambia los signos infinitamente a menudo como $ n \rightarrow \infty $.
Additional details
Additional titles
- Translated title (Arabic)
- الأوامر والأجناس المتطرفة بين المتناظرين في قواعد مختلفة
- Translated title (French)
- Commandes et courses extrêmes entre palindromes dans différentes bases
- Translated title (Spanish)
- Órdenes y carreras extremas entre palíndromos en diferentes bases
Identifiers
- Other
- https://openalex.org/W3214171588
- DOI
- 10.3934/math.2022127
References
- https://openalex.org/W1577451328
- https://openalex.org/W1832203996
- https://openalex.org/W1963909033
- https://openalex.org/W1970311449
- https://openalex.org/W1988183556
- https://openalex.org/W1989895227
- https://openalex.org/W2003128676
- https://openalex.org/W2012666605
- https://openalex.org/W2014564364
- https://openalex.org/W2021792035
- https://openalex.org/W2034006607
- https://openalex.org/W2068953207
- https://openalex.org/W2092297493
- https://openalex.org/W2111373230
- https://openalex.org/W2169978469
- https://openalex.org/W2477304139
- https://openalex.org/W2765112097
- https://openalex.org/W2964257454
- https://openalex.org/W3024801220
- https://openalex.org/W3113507316
- https://openalex.org/W4238159413