Connectedness and covering properties via infra topologies with application to fixed point theorem

Translated Description (Arabic)

Translated Description (French)

Une nouvelle généralisation de la topologie classique, à savoir l'infra topologie a été introduite. L'importance d'étudier cette structure provient de deux éléments, d'une part, la préservation des propriétés topologiques dans des conditions plus faibles que la topologie et, d'autre part, la possibilité d'appliquer des opérateurs d'infra-intérieur et d'infra-fermeture pour étudier des concepts approximatifs. Ici, nous familiarisons de nouveaux concepts dans cette structure et établissons leurs propriétés principales. Dans un premier temps, nous introduisons les notions d'espaces infra-connectés et localement infra-connectés. Parmi certains des résultats que nous avons obtenus, le produit fini des espaces infra-connectés est infra-connecté, et la propriété d'être un espace infra-connecté localement est une propriété héréditaire infra-ouverte. Nous décrivons avec succès un espace infra-connecté à l'aide d'ensembles infra-ouverts, ce qui permet d'étudier les concepts donnés dans cette section sous certaines fonctions. Ensuite, nous déterminons la condition dans laquelle le nombre d'infra-composants est fini ou dénombrable. Deuxièmement, nous définissons les concepts d'espaces infra-compacts et infra-Lindelöf et étudions certaines de leurs propriétés de base. A l'aide d'un contre-exemple, on élucide que le sous-ensemble infra-compact d'un espace infra-$ T_2 $ n' est pas infra-fermé, en général. Nous terminons ce travail par l'un des sujets intéressants en mathématiques « le théorème du point fixe », nous montrons que lorsque la fonction infra-continue définie sur un espace infra-compact a un point fixe unique. Pour élucider les propriétés topologiques non valides dans le cadre de la topologie infra, nous fournissons quelques contre-exemples.

Translated Description (Spanish)

Se introdujo una nueva generalización de la topología clásica, a saber, la infra topología. La importancia de estudiar esta estructura proviene de dos cuestiones, en primer lugar, preservar las propiedades topológicas bajo una condición más débil que la topología, y en segundo lugar, la posibilidad de aplicar operadores de infra-interior e infra-cierre para estudiar conceptos de conjunto aproximado. Aquí, familiarizamos nuevos conceptos en esta estructura y establecemos sus propiedades maestras. En primer lugar, introducimos las nociones de espacios infra-conectados y localmente infra-conectados. Entre algunos de los resultados que obtuvimos, el producto finito de los espacios interconectados está interconectado, y la propiedad de ser un espacio interconectado localmente es una propiedad hereditaria infraabierta. Describimos con éxito un espacio infra-conectado utilizando conjuntos infra-abiertos, lo que ayuda a estudiar los conceptos dados en esta sección bajo ciertas funciones. Luego, determinamos la condición bajo la cual el número de infra-componentes es finito o contable. En segundo lugar, definimos los conceptos de espacios infra-compactos e infra-Lindelöf y estudiamos algunas de sus propiedades básicas. Con la ayuda de un contraejemplo, dilucidamos que el subconjunto infra-compacto de un espacio infra-$ T_2 $ no está infra-cerrado, en general. Finalizamos este trabajo por uno de los temas interesantes en matemáticas "teorema del punto fijo", mostramos que cuando la función infra-continua definida en un espacio infra-compacto tiene un punto fijo único. Para dilucidar las propiedades topológicas que son inválidas en el marco de la infra topología, proporcionamos algunos contraejemplos.