Published January 1, 2022
| Version v1
Publication
Open
A physicist's guide to the solution of Kummer's equation and confluent hypergeometric functions
- 1. Georgetown University
- 2. Xiamen University Malaysia
Description
The confluent hypergeometric equation, also known as Kummer's equation, is one of the most important differential equations in physics, chemistry, and engineering. Its two power series solutions are the Kummer function, M(a,b,z), often referred to as the confluent hypergeometric function of the first kind, and z^{1-b}M(1+a-b,2-b,z), where a and b are parameters that appear in the differential equation. A third function, the Tricomi function, U(a,b,z), sometimes referred to as the confluent hypergeometric function of the second kind, is also a solution of the confluent hypergeometric equation that is routinely used. All three of these functions must be considered in a search for two linearly independent solutions of the confluent hypergeometric equation. There are situations, when a, b, and a - b are integers, where one of these functions is not defined, or two of the functions are not linearly independent, or one of the linearly independent solutions of the differential equation is different from these three functions. Many of these special cases correspond precisely to cases needed to solve physics problems. This leads to significant confusion about how to work with confluent hypergeometric equations, in spite of authoritative references such as the NIST Digital Library of Mathematical Functions. Here, we carefully describe all of the different cases one has to consider and what the explicit formulas are for the two linearly independent solutions of the confluent hypergeometric equation. Our results are summarized in Table I in Section 3. As an example, we use these solutions to study the bound states of the hydrogenic atom, going beyond the standard treatment in textbooks. We also briefly consider the cutoff Coulomb potential. We hope that this guide will aid physics instruction that involves the confluent hypergeometric differential equation.
Translated Descriptions
⚠️
This is an automatic machine translation with an accuracy of 90-95%
Translated Description (Arabic)
معادلة فرط الهندسة المتلاقية، والمعروفة أيضًا باسم معادلة كومر، هي واحدة من أهم المعادلات التفاضلية في الفيزياء والكيمياء والهندسة. حلولاها المتسلسلان للقدرة هما دالة كومر، M(a، b، z)، وغالبًا ما يشار إليها باسم الدالة الهندسية الفائقة المتلاصقة من النوع الأول، و z^{ 1 - b}M(1+a - b، 2 - b،z)، حيث a و b هي المعلمات التي تظهر في المعادلة التفاضلية. الدالة الثالثة، دالة Tricomi، U(a،b،z)، التي يشار إليها أحيانًا باسم دالة فرط الهندسة المتلاقية من النوع الثاني، هي أيضًا حل لمعادلة فرط الهندسة المتلاقية المستخدمة بشكل روتيني. يجب النظر في جميع هذه الوظائف الثلاث في البحث عن حلين مستقلين خطيًا للمعادلة الهندسية الفائقة المتلاصقة. هناك حالات، عندما تكون a و b و a - b أعدادًا صحيحة، حيث لم يتم تعريف إحدى هذه الدوال، أو أن اثنتين من الدوال غير مستقلتين خطيًا، أو أن أحد الحلول المستقلة خطيًا للمعادلة التفاضلية يختلف عن هذه الدوال الثلاث. تتوافق العديد من هذه الحالات الخاصة بدقة مع الحالات اللازمة لحل مشاكل الفيزياء. وهذا يؤدي إلى ارتباك كبير حول كيفية العمل مع المعادلات الهندسية الفائقة المتلاصقة، على الرغم من المراجع الموثوقة مثل المكتبة الرقمية للوظائف الرياضية للمعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا. هنا، نصف بعناية جميع الحالات المختلفة التي يجب على المرء النظر فيها وما هي الصيغ الصريحة للحلين المستقلين خطيًا للمعادلة الهندسية الفائقة المتلاصقة. تم تلخيص نتائجنا في الجدول الأول في القسم 3. على سبيل المثال، نستخدم هذه الحلول لدراسة الحالات المرتبطة بالذرة الهيدروجينية، بما يتجاوز المعالجة القياسية في الكتب المدرسية. كما ننظر بإيجاز في احتمالية قطع كولوم. نأمل أن يساعد هذا الدليل في تعليم الفيزياء الذي يتضمن المعادلة التفاضلية الفائقة الهندسة المتلاصقة.Translated Description (French)
L'équation hypergéométrique confluente, également connue sous le nom d'équation de Kummer, est l'une des équations différentielles les plus importantes en physique, en chimie et en ingénierie. Ses deux solutions de série de puissance sont la fonction de Kummer, M(a, b, z), souvent appelée fonction hypergéométrique confluente du premier type, et z^{1-b}M(1+a-b,2-b,z), où a et b sont des paramètres qui apparaissent dans l'équation différentielle. Une troisième fonction, la fonction de Tricomi, U(a, b, z), parfois appelée fonction hypergéométrique confluente du deuxième type, est également une solution de l'équation hypergéométrique confluente couramment utilisée. Ces trois fonctions doivent être considérées dans une recherche de deux solutions linéairement indépendantes de l'équation hypergéométrique confluente. Il existe des situations où a, b et a - b sont des entiers, où l'une de ces fonctions n'est pas définie, ou deux des fonctions ne sont pas linéairement indépendantes, ou l'une des solutions linéairement indépendantes de l'équation différentielle est différente de ces trois fonctions. Beaucoup de ces cas particuliers correspondent précisément aux cas nécessaires pour résoudre des problèmes de physique. Cela conduit à une confusion importante sur la façon de travailler avec des équations hypergéométriques confluentes, malgré des références faisant autorité telles que la bibliothèque numérique des fonctions mathématiques du NIST. Ici, nous décrivons soigneusement tous les différents cas à considérer et quelles sont les formules explicites pour les deux solutions linéairement indépendantes de l'équation hypergéométrique confluente. Nos résultats sont résumés dans le tableau I de la section 3. À titre d'exemple, nous utilisons ces solutions pour étudier les états liés de l'atome d'hydrogène, allant au-delà du traitement standard dans les manuels. Nous examinons également brièvement le potentiel de coupure de Coulomb. Nous espérons que ce guide aidera l'enseignement de la physique qui implique l'équation différentielle hypergéométrique confluente.Translated Description (Spanish)
La ecuación hipergeométrica confluente, también conocida como ecuación de Kummer, es una de las ecuaciones diferenciales más importantes en física, química e ingeniería. Sus dos soluciones de serie de potencias son la función de Kummer, M(a, b, z), a menudo denominada función hipergeométrica confluente de primer tipo, y z^{1-b}M(1+a-b,2-b,z), donde a y b son parámetros que aparecen en la ecuación diferencial. Una tercera función, la función de Tricomi, U(a,b,z), a veces denominada función hipergeométrica confluente del segundo tipo, también es una solución de la ecuación hipergeométrica confluente que se usa de forma rutinaria. Estas tres funciones deben considerarse en la búsqueda de dos soluciones linealmente independientes de la ecuación hipergeométrica confluente. Hay situaciones en las que a, b y a - b son números enteros, donde una de estas funciones no está definida, o dos de las funciones no son linealmente independientes, o una de las soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial es diferente de estas tres funciones. Muchos de estos casos especiales corresponden precisamente a casos necesarios para resolver problemas de física. Esto conduce a una confusión significativa sobre cómo trabajar con ecuaciones hipergeométricas confluentes, a pesar de referencias autorizadas como la Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas del NIST. Aquí, describimos cuidadosamente todos los diferentes casos que uno tiene que considerar y cuáles son las fórmulas explícitas para las dos soluciones linealmente independientes de la ecuación hipergeométrica confluente. Nuestros resultados se resumen en la Tabla I en la Sección 3. Como ejemplo, utilizamos estas soluciones para estudiar los estados unidos del átomo de hidrógeno, yendo más allá del tratamiento estándar en los libros de texto. También consideramos brevemente el potencial de Coulomb de corte. Esperamos que esta guía ayude a la instrucción de física que involucra la ecuación diferencial hipergeométrica confluente.Files
art33203.pdf.pdf
Files
(521.5 kB)
| Name | Size | Download all |
|---|---|---|
|
md5:183c95ea0d68f55b1781af88ffcf9b2b
|
521.5 kB | Preview Download |
Additional details
Additional titles
- Translated title (Arabic)
- دليل فيزيائي لحل معادلة كومر ووظائف فرط الهندسة المتلاقية
- Translated title (French)
- Guide du physicien sur la solution de l'équation de Kummer et des fonctions hypergéométriques confluentes
- Translated title (Spanish)
- Una guía del físico para la solución de la ecuación de Kummer y las funciones hipergeométricas confluentes
Identifiers
- Other
- https://openalex.org/W4226058632
- DOI
- 10.5488/cmp.25.33203
References
- https://openalex.org/W100955310
- https://openalex.org/W1670395052
- https://openalex.org/W2005573436
- https://openalex.org/W2008535408
- https://openalex.org/W2016280381
- https://openalex.org/W2020319646
- https://openalex.org/W2027115333
- https://openalex.org/W2035301540
- https://openalex.org/W2040540455
- https://openalex.org/W2047013029
- https://openalex.org/W2056781959
- https://openalex.org/W2061842720
- https://openalex.org/W2065400692
- https://openalex.org/W2072827973
- https://openalex.org/W2091845635
- https://openalex.org/W2092998200
- https://openalex.org/W2100176150
- https://openalex.org/W2122030617
- https://openalex.org/W2124922127
- https://openalex.org/W2154558448
- https://openalex.org/W2170655711
- https://openalex.org/W2588494826
- https://openalex.org/W2609216463
- https://openalex.org/W3005647981
- https://openalex.org/W3008446237
- https://openalex.org/W3022380619
- https://openalex.org/W3034833281
- https://openalex.org/W3049419363
- https://openalex.org/W3100465567
- https://openalex.org/W3106512208
- https://openalex.org/W3133024991
- https://openalex.org/W4205326565
- https://openalex.org/W4250005312
- https://openalex.org/W4297901428