Fractal properties of rain, and a fractal model
Creators
- 1. Direction de la Météorologie Nationale
- 2. IBM Research - Thomas J. Watson Research Center
Description
This paper amplifies upon earlier theories and observations by the authors, advances a probabilistic model of rain fields, and exhibits realistic simulations, which the reader is advised to scan before continuing with the text. The model is also compared with other approaches. The theory of fractals has been in part motivated by the Hurst effect, which is an empirical observation in hydrology and climatology. A fractal is an unsmooth shape that is scaling, that is, where shape appears unchanged when examined by varying magnifications. The study of fractals is characterized by the prevalence of hyperbolically distributed random variables, for which Pr(U> u) ∝ u2, where Pr is the probability that the value of the variable exceeds u, and a is a positive exponent. Lovejoy established the applicability of fractals in meteorology, by showing that cloud and rain areas project on the Earth along shapes whose boundaries are fractal curves, and that the temporal and spatial structure of rain is rife with hyperbolically distributed features. These observations, as amplified in this paper, set up the challenge of constructing fractal models with the observed properties. The models presented here belong to a very versatile family of random processes devised in Mandelbrot: fractal sums of (simple) pulses, or FSP processes. The simulations to be presented reveal that these processes involve a scaling heirarchy of "bands", "fronts", and "clusters", as well as other complex shapes, none of which had been deliberately incorporated in the process. This very rich morphology and the related statistical distributions exemplify the power of simple fractal models to generate complex structures, and are in accord with the wide diversity of actual rainfall shapes. It is argued that this model already provides a useful context in which the basic statistical properties of the rainfield, including the relationship between the temporal and spatial structure, may be studied.
Translated Descriptions
Translated Description (Arabic)
تتوسع هذه الورقة في النظريات والملاحظات السابقة للمؤلفين، وتقدم نموذجًا احتماليًا لحقول المطر، وتعرض محاكاة واقعية، والتي يُنصح القارئ بمسحها ضوئيًا قبل متابعة النص. تتم مقارنة النموذج أيضًا بالنهج الأخرى. كانت نظرية الفركتلات مدفوعة جزئيًا بتأثير هيرست، وهو ملاحظة تجريبية في الهيدرولوجيا وعلم المناخ. الكسورية هي شكل غير أملس يتدرج، أي حيث يظهر الشكل دون تغيير عند فحصه بمكبرات متفاوتة. تتميز دراسة الفركتلات بانتشار المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل مفرط، والتي من أجلها تكون Pr(U> u)? u2، حيث تكون Pr هي احتمال أن تتجاوز قيمة المتغير u، وتكون a أسًا موجبًا. أثبت لوفجوي قابلية تطبيق الفركتلات في الأرصاد الجوية، من خلال إظهار أن مناطق السحب والأمطار تظهر على الأرض على طول الأشكال التي تكون حدودها منحنيات كسورية، وأن البنية الزمنية والمكانية للمطر مليئة بميزات موزعة بشكل مفرط. هذه الملاحظات، كما تم تضخيمها في هذه الورقة، وضعت التحدي المتمثل في بناء نماذج كسورية مع الخصائص المرصودة. تنتمي النماذج المقدمة هنا إلى عائلة متعددة الاستخدامات من العمليات العشوائية التي تم ابتكارها في ماندلبروت: مجاميع كسرية من النبضات (البسيطة)، أو عمليات الشرطة السورية الحرة. تكشف عمليات المحاكاة التي سيتم تقديمها أن هذه العمليات تنطوي على تسلسل هرمي متدرج من "النطاقات" و "الجبهات" و "المجموعات"، بالإضافة إلى الأشكال المعقدة الأخرى، والتي لم يتم دمج أي منها عمدًا في العملية. تجسد هذه المورفولوجيا الغنية للغاية والتوزيعات الإحصائية ذات الصلة قوة النماذج الكسورية البسيطة لتوليد هياكل معقدة، وتتوافق مع التنوع الواسع لأشكال هطول الأمطار الفعلية. ويقال إن هذا النموذج يوفر بالفعل سياقًا مفيدًا يمكن من خلاله دراسة الخصائص الإحصائية الأساسية لحقل الأمطار، بما في ذلك العلاقة بين البنية الزمنية والمكانية.Translated Description (French)
Cet article amplifie les théories et observations antérieures des auteurs, avance un modèle probabiliste des champs de pluie et présente des simulations réalistes, que le lecteur est invité à scanner avant de poursuivre le texte. Le modèle est également comparé à d'autres approches. La théorie des fractales a été en partie motivée par l'effet Hurst, qui est une observation empirique en hydrologie et en climatologie. Une fractale est une forme non lisse qui est mise à l'échelle, c'est-à-dire où la forme apparaît inchangée lorsqu'elle est examinée par des grossissements variables. L'étude des fractales est caractérisée par la prévalence de variables aléatoires distribuées hyperboliquement, pour lesquelles Pr(U> u) ≃ u2, où Pr est la probabilité que la valeur de la variable dépasse u, et a est un exposant positif. Lovejoy a établi l'applicabilité des fractales en météorologie, en montrant que les zones de nuages et de pluie se projettent sur la Terre le long de formes dont les limites sont des courbes fractales, et que la structure temporelle et spatiale de la pluie regorge de caractéristiques distribuées hyperboliquement. Ces observations, amplifiées dans cet article, posent le défi de construire des modèles fractals avec les propriétés observées. Les modèles présentés ici appartiennent à une famille très polyvalente de processus aléatoires conçus dans Mandelbrot : les sommes fractales d'impulsions (simples), ou processus FSP. Les simulations à présenter révèlent que ces processus impliquent une hérédité évolutive de « bandes », de « fronts » et de « grappes », ainsi que d'autres formes complexes, dont aucune n'avait été délibérément incorporée dans le processus. Cette morphologie très riche et les distributions statistiques associées illustrent la puissance des modèles fractals simples pour générer des structures complexes, et sont en accord avec la grande diversité des formes réelles des précipitations. On fait valoir que ce modèle fournit déjà un contexte utile dans lequel les propriétés statistiques de base du champ de pluie, y compris la relation entre la structure temporelle et spatiale, peuvent être étudiées.Translated Description (Spanish)
Este documento amplía las teorías y observaciones anteriores de los autores, avanza un modelo probabilístico de los campos de lluvia y exhibe simulaciones realistas, que se recomienda al lector que escanee antes de continuar con el texto. El modelo también se compara con otros enfoques. La teoría de los fractales ha sido motivada en parte por el efecto Hurst, que es una constatación empírica en hidrología y climatología. Un fractal es una forma no lisa que se escala, es decir, donde la forma aparece sin cambios cuando se examina con diversos aumentos. El estudio de los fractales se caracteriza por la prevalencia de variables aleatorias hiperbólicamente distribuidas, para las cuales Pr(U> u) 2, donde Pr es la probabilidad de que el valor de la variable exceda u, y a es un exponente positivo. Lovejoy estableció la aplicabilidad de los fractales en meteorología, al mostrar que las áreas de nubes y lluvia se proyectan sobre la Tierra a lo largo de formas cuyos límites son curvas fractales, y que la estructura temporal y espacial de la lluvia está plagada de características hiperbólicamente distribuidas. Estas observaciones, ampliadas en este trabajo, plantean el reto de construir modelos fractales con las propiedades observadas. Los modelos presentados aquí pertenecen a una familia muy versátil de procesos aleatorios ideados en Mandelbrot: sumas fractales de pulsos (simples) o procesos FSP. Las simulaciones que se presentarán revelan que estos procesos implican una jerarquía escalonada de "bandas", "frentes" y "grupos", así como otras formas complejas, ninguna de las cuales se había incorporado deliberadamente en el proceso. Esta morfología muy rica y las distribuciones estadísticas relacionadas ejemplifican el poder de los modelos fractales simples para generar estructuras complejas, y están de acuerdo con la amplia diversidad de formas de lluvia reales. Se argumenta que este modelo ya proporciona un contexto útil en el que se pueden estudiar las propiedades estadísticas básicas del campo pluvial, incluida la relación entre la estructura temporal y espacial.Files
1892-1-43759-1-10-20220930.pdf.pdf
Files
(4.3 MB)
| Name | Size | Download all |
|---|---|---|
|
md5:b58b2ca7b55928c19e65a1fca37313ce
|
4.3 MB | Preview Download |
Additional details
Additional titles
- Translated title (Arabic)
- الخصائص الكسرية للمطر، ونموذج كسري
- Translated title (French)
- Propriétés fractales de la pluie, et un modèle fractal
- Translated title (Spanish)
- Propiedades fractales de la lluvia y un modelo fractal
Identifiers
- Other
- https://openalex.org/W2042646149
- DOI
- 10.3402/tellusa.v37i3.11668
References
- https://openalex.org/W1971959776
- https://openalex.org/W1976240545
- https://openalex.org/W1979115845
- https://openalex.org/W1995458671
- https://openalex.org/W2009833797
- https://openalex.org/W2036608004
- https://openalex.org/W2040887117
- https://openalex.org/W2045783313
- https://openalex.org/W2049805374
- https://openalex.org/W2054674045
- https://openalex.org/W2084303003
- https://openalex.org/W2121280940
- https://openalex.org/W2154930823
- https://openalex.org/W2161798353
- https://openalex.org/W2172317930
- https://openalex.org/W2175682091
- https://openalex.org/W2341760625
- https://openalex.org/W3125246470
- https://openalex.org/W4237060688