The number of solutions of cubic diagonal equations over finite fields
Creators
- 1. Nanyang Institute of Technology
- 2. Hainan Normal University
- 3. Peking University
Description
Let $ p $ be a prime, $ k $ be a positive integer, $ q = p^k $, and $ \mathbb{F}_q $ be the finite field with $ q $ elements. Let $ \mathbb{F}_q^* $ be the multiplicative group of $ \mathbb{F}_{q} $, that is $ \mathbb{F}_q^* = \mathbb{F}_{q}\setminus\{0\} $. In this paper, explicit formulae for the numbers of solutions of cubic diagonal equations $ a_1x_1^3+a_2x_2^3 = c $ and $ b_1x_1^3+b_2x_2^3+b_3x_3^3 = c $ over $ \mathbb{F}_q $ are given, with $ a_i, b_j\in\mathbb{F}_q^* $ $ (1\leq i\leq 2, 1\leq j\leq 3) $, $ c\in\mathbb{F}_q $ and $ p\equiv1(\rm{mod} \ 3) $. Furthermore, by using the reduction formula for Jacobi sums, the number of solutions of the cubic diagonal equations $ a_1x_1^3+a_2x_2^3+\cdots+a_sx_s^3 = c $ of $ s\geq 4 $ variables with $ a_i\in\mathbb{F}_q^* $ $ (1\leq i\leq s) $, $ c\in\mathbb{F}_q $ and $ p\equiv1(\rm{mod} \ 3) $, can also be deduced.
Translated Descriptions
Translated Description (Arabic)
دع $ p $ يكون عددًا أوليًا، و $ k $ يكون عددًا صحيحًا موجبًا، و $ q = p^k $، و $\mathbb{F}_q $ يكون الحقل المنتهي بعناصر $ q $. لنفترض أن $\mathbb{F}_q ^*$ هي المجموعة المضاعفة لـ $\mathbb{F} _{ q }$، أي $\mathbb{F}_q ^*=\ mathbb{F} _{ q}\ setminus \{ 0 \}$. في هذه الورقة، يتم إعطاء صيغ صريحة لأعداد حلول المعادلات القطرية المكعبة $ a _1 x _1^3+a _2 x _2^3 = c $ و $ b _1 x _1^3+b _2 x _2^3+b _3x _3 ^3 = c $ over $\mathbb{F}_q $، مع $ a_i، b_j\in\mathbb{F}_q^* $( 1\leq i\leq 2، 1\leq j\leq 3) $، $ c\in\mathbb{F}_q $ و $ p\ equiv1 (\rm{mod} \ 3) $. علاوة على ذلك، باستخدام صيغة التخفيض لمجموع جاكوبي، يمكن أيضًا استنتاج عدد حلول المعادلات القطرية المكعبة $ a _1 x _1 ^3+a _2 x _2 ^3 +\cdots+a_sx_s^3 = c $ من $ s\geq 4 $ المتغيرات مع $ a_i\ in\mathbb{F}_q^* $( 1\leq i\ leqs )$, $ c\ in\mathbb{F}_q $ و $ p\ equiv1 (\ rm{mod}\ 3 )$.</ abstract>
Translated Description (French)
Soit $ p $ un nombre premier, $ k $ un entier positif, $ q = p^k $ , et $ \mathbb{F}_q $ le corps fini avec $ q $ éléments. Soit $ \mathbb{F}_q^* $ le groupe multiplicatif de $ \mathbb{F}_{q} $ , soit $ \mathbb{F}_q^* = \mathbb{F}_{q}\setminus\{0\} $ . Dans cet article, des formules explicites pour les nombres de solutions d'équations diagonales cubiques $ a_1x_1^3+ a_2x_2^3 = c $ et $ b_1x_1^3+b_2x_2^3+b_3x_3^3 = c $ sur $ \mathbb{F}_q $ sont données, avec $ a_i, b_j\in\mathbb{F}_q^* $ $ (1\leq i\leq 2, 1\leq j\leq 3) $ , $ c\in\mathbb{F}_q $ et $ p\ equiv1 (\rm{mod} \ 3) $ . De plus, en utilisant la formule de réduction pour les sommes de Jacobi, on peut également déduire le nombre de solutions des équations diagonales cubiques $ a_1x_1^3+ a_2x_2 ^3 +\cdots+ a_sx_s^3 = c $ de $ s\geq 4 $ variables avec $ a_i\ in\mathbb{F}_q^* $ $ (1\leq i\ leq s) $ , $ c\ in\mathbb{F}_q $ et $ p\ equiv1 (\ rm{mod} \ 3) $ .
Translated Description (Spanish)
Sea $ p $ un primo, $ k $ un entero positivo, $ q = p^k $ y $ \mathbb{F}_q $ el campo finito con $ q $ elementos. Sea $ \mathbb{F}_q^* $ el grupo multiplicativo de $ \mathbb{F}_{q} $, es decir, $ \mathbb{F}_q^* = \mathbb{F}_{q}\setminus\{0\} $. En este artículo, se dan fórmulas explícitas para los números de soluciones de ecuaciones diagonales cúbicas $ a_1x_1^3+ a_2x_2^3 = c $ y $ b_1x_1^3+b_2x_2^3+b_3x_3^3 = c $ sobre $ \mathbb{F}_q $, con $ a_i, b_j\in\mathbb{F}_q^* $ $ (1\leq i\leq 2, 1\leq j\leq 3) $, $ c\in\mathbb{F}_q $ y $ p\ equiv1 (\rm{mod} \ 3) $. Además, utilizando la fórmula de reducción para las sumas de Jacobi, también se puede deducir el número de soluciones de las ecuaciones diagonales cúbicas $ a_1x_1^3+ a_2x_2 ^3 +\cdots+ a_sx_s^3 = c $ de $ s\geq 4 $ variables con $ a_i\ in\mathbb{F}_q^* $ $ (1\leq i\ leq s) $, $ c\ in\mathbb{F}_q $ y $ p\ equiv1 (\ rm{mod} \ 3) $.
Additional details
Additional titles
- Translated title (Arabic)
- عدد حلول المعادلات القطرية التكعيبية على الحقول المنتهية
- Translated title (French)
- Le nombre de solutions d'équations diagonales cubiques sur des corps finis
- Translated title (Spanish)
- El número de soluciones de ecuaciones diagonales cúbicas sobre campos finitos
Identifiers
- Other
- https://openalex.org/W4313580554
- DOI
- 10.3934/math.2023322
References
- https://openalex.org/W1043160959
- https://openalex.org/W1471103927
- https://openalex.org/W1511396142
- https://openalex.org/W1978369712
- https://openalex.org/W1997071901
- https://openalex.org/W1998965834
- https://openalex.org/W2005039466
- https://openalex.org/W2015585803
- https://openalex.org/W2031770114
- https://openalex.org/W2071753547
- https://openalex.org/W2076563477
- https://openalex.org/W2093246795
- https://openalex.org/W2314654153
- https://openalex.org/W234588615
- https://openalex.org/W2769044702
- https://openalex.org/W3011094743
- https://openalex.org/W3012557200
- https://openalex.org/W3042450767
- https://openalex.org/W3115306033
- https://openalex.org/W3202849474
- https://openalex.org/W3206602760
- https://openalex.org/W4233185505
- https://openalex.org/W4312973895