Approximation of the initial value for damped nonlinear hyperbolic equations with random Gaussian white noise on the measurements
- 1. Industrial University of Ho Chi Minh City
- 2. Auburn University
- 3. Iran University of Science and Technology
- 4. Van Lang University
Description
The main goal of this work is to study a regularization method to reconstruct the solution of the backward non-linear hyperbolic equation $ u_{tt} + \alpha\Delta^2u_t +\beta \Delta ^2u = \mathcal{F}(x, t, u) $ come with the input data are blurred by random Gaussian white noise. We first prove that the considered problem is ill-posed (in the sense of Hadamard), i.e., the solution does not depend continuously on the data. Then we propose the Fourier truncation method for stabilizing the ill-posed problem. Base on some priori assumptions for the true solution we derive the error and a convergence rate between a mild solution and its regularized solutions. Also, a numerical example is provided to confirm the efficiency of theoretical results.
Translated Descriptions
Translated Description (Arabic)
الهدف الرئيسي من هذا العمل هو دراسة طريقة التنظيم لإعادة بناء حل المعادلة الزائدة غير الخطية للخلف $ u _{ tt }+\ alpha\Delta^ 2u_t +\ beta \Delta ^ 2u =\mathcal{F }( x, t, u )$ تأتي مع بيانات الإدخال غير واضحة بسبب الضوضاء البيضاء الغاوسية العشوائية. نثبت أولاً أن المشكلة المدروسة غير موضوعة (بمعنى هادامارد)، أي أن الحل لا يعتمد بشكل مستمر على البيانات. ثم نقترح طريقة اقتطاع فورييه لتثبيت المشكلة غير المطروحة. استنادًا إلى بعض الافتراضات المسبقة للحل الحقيقي، نستمد الخطأ ومعدل التقارب بين الحل المعتدل وحلوله المنظمة. أيضًا، يتم تقديم مثال رقمي لتأكيد كفاءة النتائج النظرية.</ abstract>
Translated Description (French)
L'objectif principal de ce travail est d'étudier une méthode de régularisation pour reconstruire la solution de l'équation hyperbolique non-linéaire en arrière $ u_{tt} + \alpha\Delta^2u_t +\beta \Delta ^2u = \mathcal{F}(x, t, u) $ viennent avec les données d'entrée sont floues par le bruit blanc gaussien aléatoire. Nous prouvons d'abord que le problème considéré est mal posé (au sens de Hadamard), c'est-à-dire que la solution ne dépend pas en permanence des données. Nous proposons ensuite la méthode de la troncature de Fourier pour stabiliser le problème mal posé. Sur la base de certaines hypothèses a priori pour la vraie solution, nous dérivons l'erreur et un taux de convergence entre une solution douce et ses solutions régularisées. En outre, un exemple numérique est fourni pour confirmer l'efficacité des résultats théoriques.
Translated Description (Spanish)
El objetivo principal de este trabajo es estudiar un método de regularización para reconstruir la solución de la ecuación hiperbólica no lineal hacia atrás $ u_{tt} + \alpha\Delta^2u_t +\beta \Delta ^2u = \mathcal{F}(x, t, u) $ con los datos de entrada difuminados por el ruido blanco gaussiano aleatorio. Primero probamos que el problema considerado está mal planteado (en el sentido de Hadamard), es decir, la solución no depende continuamente de los datos. A continuación, proponemos el método de truncamiento de Fourier para estabilizar el problema mal planteado. Basándonos en algunos supuestos a priori para la solución verdadera, derivamos el error y una tasa de convergencia entre una solución leve y sus soluciones regularizadas. Además, se proporciona un ejemplo numérico para confirmar la eficiencia de los resultados teóricos.
Additional details
Additional titles
- Translated title (Arabic)
- تقريب القيمة الأولية للمعادلات الزائدة غير الخطية المخففة مع الضوضاء البيضاء الغاوسية العشوائية على القياسات
- Translated title (French)
- Approximation de la valeur initiale pour les équations hyperboliques non linéaires amorties avec bruit blanc gaussien aléatoire sur les mesures
- Translated title (Spanish)
- Aproximación del valor inicial para ecuaciones hiperbólicas no lineales amortiguadas con ruido blanco gaussiano aleatorio en las mediciones
Identifiers
- Other
- https://openalex.org/W4285166530
- DOI
- 10.3934/math.2022698
References
- https://openalex.org/W1481768033
- https://openalex.org/W1965713660
- https://openalex.org/W1975067980
- https://openalex.org/W2007999430
- https://openalex.org/W2014571156
- https://openalex.org/W2041256085
- https://openalex.org/W2060935948
- https://openalex.org/W2078362444
- https://openalex.org/W2083018206
- https://openalex.org/W2098419988
- https://openalex.org/W2100884899
- https://openalex.org/W2605877996
- https://openalex.org/W2742269144
- https://openalex.org/W2753359976
- https://openalex.org/W2959258929
- https://openalex.org/W3013884870
- https://openalex.org/W3015535376
- https://openalex.org/W3110782573
- https://openalex.org/W3159407573
- https://openalex.org/W4213411649