Published January 23, 2023 | Version v1
Publication Open

Conditional Lipschitz Shadowing for Ordinary Differential Equations

Creators

  • 1. Universidade Federal do Rio Grande do Sul
  • 2. University of Rijeka
  • 3. Okayama University of Science
  • 4. University of Pannonia

Description

Abstract We introduce the notion of conditional Lipschitz shadowing, which does not aim to shadow every pseudo-orbit, but only those which belong to a certain prescribed set. We establish two types of sufficient conditions under which certain nonautonomous ordinary differential equations have such a property. The first criterion applies to a semilinear differential equation provided that its linear part is hyperbolic and the nonlinearity is small in a neighborhood of the prescribed set. The second criterion requires that the logarithmic norm of the derivative of the right-hand side with respect to the state variable is uniformly negative in a neighborhood of the prescribed set. The results are applicable to important classes of model equations including the logistic equation, whose conditional shadowing has recently been studied. Several examples are constructed showing that the obtained conditions are optimal.

⚠️ This is an automatic machine translation with an accuracy of 90-95%

Translated Description (Arabic)

نبذة مختصرة نقدم مفهوم تظليل ليبشيتز الشرطي، والذي لا يهدف إلى تظليل كل مدار زائف، ولكن فقط تلك التي تنتمي إلى مجموعة معينة موصوفة. نضع نوعين من الشروط الكافية التي بموجبها تمتلك بعض المعادلات التفاضلية العادية غير المستقلة مثل هذه الخاصية. ينطبق المعيار الأول على المعادلة التفاضلية نصف الخطية بشرط أن يكون جزؤها الخطي زائداً وأن تكون اللاخطية صغيرة في حي من المجموعة الموصوفة. يتطلب المعيار الثاني أن تكون القاعدة اللوغاريتمية لمشتقة الجانب الأيمن فيما يتعلق بمتغير الحالة سالبة بشكل موحد في حي من المجموعة المحددة. تنطبق النتائج على فئات مهمة من معادلات النموذج بما في ذلك المعادلة اللوجستية، التي تمت دراسة تظليلها الشرطي مؤخرًا. تم بناء العديد من الأمثلة التي تبين أن الظروف التي تم الحصول عليها هي الأمثل.

Translated Description (French)

Résumé Nous introduisons la notion d'ombrage conditionnel de Lipschitz, qui ne vise pas à ombrer chaque pseudo-orbite, mais uniquement celles qui appartiennent à un certain ensemble prescrit. Nous établissons deux types de conditions suffisantes dans lesquelles certaines équations différentielles ordinaires non autonomes ont une telle propriété. Le premier critère s'applique à une équation différentielle semi-linéaire à condition que sa partie linéaire soit hyperbolique et que la non-linéarité soit petite dans un voisinage de l'ensemble prescrit. Le deuxième critère exige que la norme logarithmique de la dérivée du côté droit par rapport à la variable d'état soit uniformément négative dans un voisinage de l'ensemble prescrit. Les résultats sont applicables à des classes importantes d'équations modèles, y compris l'équation logistique, dont l'ombrage conditionnel a récemment été étudié. Plusieurs exemples sont construits montrant que les conditions obtenues sont optimales.

Translated Description (Spanish)

Resumen Introducimos la noción de sombreado condicional de Lipschitz, que no tiene como objetivo sombrear cada pseudo-órbita, sino solo aquellas que pertenecen a un cierto conjunto prescrito. Establecemos dos tipos de condiciones suficientes bajo las cuales ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias no autónomas tienen tal propiedad. El primer criterio se aplica a una ecuación diferencial semilineal siempre que su parte lineal sea hiperbólica y la no linealidad sea pequeña en una vecindad del conjunto prescrito. El segundo criterio requiere que la norma logarítmica de la derivada del lado derecho con respecto a la variable de estado sea uniformemente negativa en una vecindad del conjunto prescrito. Los resultados son aplicables a clases importantes de ecuaciones modelo, incluida la ecuación logística, cuyo sombreado condicional se ha estudiado recientemente. Se construyen varios ejemplos que muestran que las condiciones obtenidas son óptimas.

Files

s10884-023-10246-6.pdf.pdf

Files (374.2 kB)

⚠️ Please wait a few minutes before your translated files are ready ⚠️ Note: Some files might be protected thus translations might not work.
Name Size Download all
md5:9dd6e58d815b72fcf13469cd7373e873
374.2 kB
Preview Download

Additional details

Additional titles

Translated title (Arabic)
تظليل ليبشيتز الشرطي للمعادلات التفاضلية العادية
Translated title (French)
Ombre de Lipschitz conditionnelle pour équations différentielles ordinaires
Translated title (Spanish)
Sombreado condicional de Lipschitz para ecuaciones diferenciales ordinarias

Identifiers

Other
https://openalex.org/W4317745788
DOI
10.1007/s10884-023-10246-6

Is supplement to
https://openalex.org/W4297791327 (Other)
https://openalex.org/W3185235544 (Other)
https://openalex.org/W2999616507 (Other)
https://openalex.org/W2911623553 (Other)
https://openalex.org/W2897842840 (Other)
https://openalex.org/W2417585376 (Other)
https://openalex.org/W2397777611 (Other)
https://openalex.org/W2043671984 (Other)
https://openalex.org/W188518547 (Other)
https://openalex.org/W1502031429 (Other)

GreSIS Basics Section

Is Global South Knowledge
Yes
Country
Brazil

References

  • https://openalex.org/W1993558132
  • https://openalex.org/W2014327715
  • https://openalex.org/W2320039489
  • https://openalex.org/W2476484764
  • https://openalex.org/W2750855539
  • https://openalex.org/W2790746289
  • https://openalex.org/W2806926977
  • https://openalex.org/W2924098308
  • https://openalex.org/W2962797658
  • https://openalex.org/W3098842155
  • https://openalex.org/W3099242836
  • https://openalex.org/W3106434378
  • https://openalex.org/W3160167798
  • https://openalex.org/W3192176929
  • https://openalex.org/W3209095054
  • https://openalex.org/W4210417410
  • https://openalex.org/W4293065476